Resposta:
[tex]tg(\beta)= \frac{3\sqrt{7} }{7}[/tex]
Explicação passo a passo:
1º quadrante
ângulos entre "zero e π/2 "
2º quadrante
ângulos entre " π/2 e π "
3º quadrante
ângulos entre " π e 3π/2 "
4º quadrante
ângulos entre " 3π/2 e 2π "
π < β < 3π/2 ← É no terceiro quadrante
No terceiro quadrante seno é negativo e cosseno também negativo ( 1 )
tangente de um ângulo = ( seno do ângulo : cosseno desse ângulo )
Já sabemos o seno, vamos calcular o cosseno.
Usar a Lei Fundamental da Trigonometria
sen² (x) + cos² (x) = 1
[tex](-\frac{3}{4} )^{2} +cos^2(\beta )= 1[/tex]
[tex]\frac{9}{16} +cos^2(\beta )= 1[/tex]
[tex]cos^2(\beta )= 1-\frac{9}{16}[/tex]
[tex]cos^2(\beta )= \frac{16}{16} -\frac{9}{16}[/tex]
[tex]cos^2(\beta )= \frac{7}{16}[/tex]
[tex]cos(\beta )= \sqrt{(\frac{7}{16}) } =\frac{\sqrt{7} }{\sqrt{16} } =\frac{\sqrt{7} }{4}[/tex] ou [tex]cos(\beta )=- \sqrt{(\frac{7}{16}) } =-\frac{\sqrt{7} }{\sqrt{16} } =-\frac{\sqrt{7} }{4}[/tex]
Por aquilo que vimos em (1) o cosseno também é negativo.
[tex]Fica.....cos(\beta ) = -\frac{\sqrt{7} }{4}[/tex]
tg ( β) = ( sen ( β) : cos (β ) )
[tex]tg(\beta ) = -\frac{3}{4} :(-\frac{\sqrt{7} }{4})=-\frac{3}{4} *(-\frac{4}{\sqrt{7} })[/tex]
[tex]=\frac{3*4}{4*\sqrt{7} } =\frac{3}{\sqrt{7} }[/tex]
Observação → Racionalizar o denominador de uma fração
O que se pretende é que esse denominador venha um número inteiro.
Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador por √7
[tex]\frac{3}{\sqrt{7} }=\frac{3*\sqrt{7} }{\sqrt{7} *\sqrt{7} } =\frac{3\sqrt{7} }{(\sqrt{7} )^{2} }=\frac{3\sqrt{7} }{7}[/tex]
Bons estudos.
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( * ) multiplicação ( : ) divisão
