Resposta:
A teoria dos números é o ramo da Matemática que estuda os mis-
térios dos números e teve sua origem na antiga Grécia. Os belíssimos
problemas ligados a esta área constituem, até hoje, uma das princi-
pais fontes inspiradoras dos amantes da Matemática. Além disso, essa
área possui várias aplicações úteis a humanidade, como por exemplo,
o processo de criptograa usado em transações pela Internet.
Alguns problemas em teoria dos números demoram séculos para
serem resolvidos, como por exemplo o último teorema de Fermat, que
arma que não existe nenhum conjunto de inteiros positivos x, y, z e n
com n maior que 2 que satisfaça x
n + y
n = z
n
. Esse problema foi ob-
jeto de fervorosas pesquisas durante mais de 300 anos e foi nalmente
demonstrado em 1995 pelo matemático Andrew Wiles.
Ainda hoje persistem muitas questões naturais e simples sem res-
posta. Por exemplo, ninguém sabe mostrar (apesar de todo mundoacreditar que é verdade!) que todo natural par é soma de dois pri-
mos. Essa é a famosa conjectura de Goldbach. Essa simplicidade de se
anunciar problemas e a extrema diculdade em resolvê-los faz desta
área um grande atrativo para os matemáticos do mundo todo.
Este capítulo será dedicado ao estudo de algumas propriedades
básicas relativas aos números inteiros.
3.1 Conceitos Fundamentais e Divisão Eu-
clidiana
Denotamos por Z o conjunto dos números inteiros formado pelo con-
junto dos números naturais N = {1, 2, 3, . . .} munido do zero e dos
números negativos. Ou seja, Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
Começamos observando que a soma, diferença e produto de núme-
ros inteiros também serão números inteiros. Entretanto, o quociente
de dois inteiros pode ser um inteiro ou não.
Uma das propriedades fundamentais dos números naturais que uti-
lizaremos ao longo do texto é o conhecido princípio da boa ordenação,
que arma o seguinte:
Princípio da Boa Ordenação: todo subconjunto não vazio A ⊆ N
possui um elemento menor que todos os outros elementos deste, ou
seja, existe a ∈ A tal que a ≤ n para todo n ∈ A.
Por exemplo, se A é o conjunto dos números pares, o menor ele-
mento de A é o número 2. Por outro lado, observamos que o conjunto
dos números inteiros não goza da boa ordenação.
Apesar do princípio da boa ordenação parecer inocente e natural,
muitos resultados importantes a respeito dos números naturais decorrem do mesmo, como veremos ao longo de todo este capítulo.
Denição 3.1. Sejam a e b inteiros. Dizemos que a divide b se existe
um inteiro q tal que b = aq. Também usaremos as frases a é divisor
de b ou b é múltiplo de a para signicar esta situação.
Usaremos a notação a | b para representar todas as frases equi-
valentes ditas anteriormente. Se a não for divisor de b, então escre-
veremos a - b.
Exemplo 3.2. 7 | 21 pois 21 = 7 · 3. Por outro lado 3 - 8 pois
considerando o conjunto M = {3m, m ∈ N} = {3, 6, 9, 12, . . .} dos
múltiplos positivos de 3 vemos que 8 não pertence ao mesmo.
A seguinte proposição é um bom exercício para entender os con-
ceitos enunciados acima.
Proposição 3.3. Sejam a, b e c números inteiros. Então,
(a) se a | b e b | c então a | c;
(b) se a | b e a | c então a | (b + c) e a | (b − c);
(c) se a e b são positivos e a | b então 0 < a ≤ b;
(d) se a | b e b | a então a = b ou a = −b.
Demonstração. Se a | b e b | c então existem inteiros q1 e q2 tais que
b = aq1 (3.1)
e
c = bq2. (3.2)
