Explicação passo-a-passo:
Equação exponencial
Olá @AlexandreNtema
A questão é bem simples só precisa d'uma pequena astúcia.
Nos é dado que :
[tex]~~~~\sf{\left(3-\sqrt{8}\right)^{\frac{x}{2}}+\left(3+\sqrt{8}\right)^{\frac{x}{2}}~=~6 } \\[/tex]
primeiro podemos reescrever a equação em forma de radicais um vez que temos expoentes fracionários .
[tex]\iff \sf{ \sqrt{\left(3-\sqrt{8}\right)^x}+\sqrt{\left(3+\sqrt{8}\right)^x}~=~6 } \\[/tex]
veja que: [tex]\sf{3-\sqrt{8}~=~\dfrac{\left(3-\sqrt{8}\right)\left(3+\sqrt{8}\right)}{\left(3+\sqrt{8}\right)}~=~\dfrac{1}{3+\sqrt{8}} } \\[/tex]
Daí que :
[tex]\iff \sf{ \sqrt{\dfrac{1}{\left(3+\sqrt{8}\right)^x}}+\sqrt{\left(3+\sqrt{8}\right)^x}~=~6 }\\[/tex]
Seja: [tex]\sf{\left(3+\sqrt{8}\right)^x~=~A^2 } \\[/tex]
Então ficamos com: [tex]\sf{ \dfrac{1}{A}+A~=~6 } \\[/tex]
[tex]\iff\sf{ A^2-6A+1~=~0 } \\[/tex]
[tex]\iff\sf{ A^2-6A+9-8~=~0 }\\[/tex]
[tex]\iff\sf{ \left(A-3\right)^2~=~8 } \\[/tex]
[tex]\iff\sf{ A~=~\pm\sqrt{8}+3 } \\[/tex]
[tex]\red{\iff \sf{A~=~3-\sqrt{8}~\vee~A~=~3+\sqrt{8} } } \\[/tex]
Voltando para nossa suposição:
[tex]\iff\sf{ \left(3+\sqrt{8}\right)^x~=~A^2~=~\left(3+\sqrt{8}\right)^2 }\\[/tex]
[tex]\green{\iff \boxed{\boxed{\sf{x~=~ 2 } } } } \\[/tex]
This answer was elaborad by:
Murrima , Joaquim Marcelo
UEM(Moçambique)-DMI
