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Ache a derivada de f(x)=arcsin(sinx-cosx)

Sagot :

SubGui

Olá, boa noite.

Para resolvemos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo diferencial.

Calculamos o seno em ambos os lados da igualdade, de modo que tenhamos:

[tex]\sin(f(x))=\sin(\arcsin(\sin(x)-\cos(x)))[/tex]

Sabendo que [tex]\arcsin(x)=\sin^{-1}(x)[/tex] e [tex]f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x[/tex], temos:

[tex]\sin(f(x))=\sin(x)-\cos(x)[/tex]

Diferenciando ambos os lados da igualdade em respeito à variável [tex]x[/tex], temos:

[tex]\dfrac{d}{dx}(\sin(f(x)))=\dfrac{d}{dx}(\sin(x)-\cos(x))[/tex]

Para calcularmos estas derivadas, lembre-se que:

  • Uma função composta por duas funções [tex]g,~h[/tex] contínuas é contínua e sua derivada é calculada pela regra da cadeia: [tex](g(h(x)))'=h'(x)\cdot g'(h(x))[/tex].
  • A derivada é um operador linear, logo vale que: [tex](\alpha\cdot g(x)+\beta\cdot h(x))'=\alpha\cdot g'(x)+\beta\cdot h'(x)[/tex].
  • A derivada da função seno é igual a função cosseno: [tex](\sin(x))'=\cos(x)[/tex]
  • A derivada da função cosseno é o oposto da função seno: [tex](\cos(x))'=-\sin(x)[/tex].

Aplique a regra da cadeia e a linearidade

[tex]\dfrac{d}{dx}(f(x))\cdot \cos(f(x))=\dfrac{d}{dx}(\sin(x))-\dfrac{d}{dx}(\cos(x))[/tex]

Calcule a derivada das funções seno e cosseno

[tex]\dfrac{d}{dx}(f(x))\cdot \cos(f(x))=\cos(x)-(-\sin(x))\\\\\\ f'(x)\cdot \cos(f(x))=\cos(x)+\sin(x)[/tex]

Pela identidade fundamental da trigonometria, [tex]\sin^2(x)+\cos^2(x)=1[/tex], fazemos [tex]\cos(f(x))=\sqrt{1-\sin^2(f(x))[/tex]. Logo, teremos:

[tex]f'(x)\cdot \sqrt{1-\underbrace{\sin^2(f(x))}_{(\sin(x)-\cos(x))^2}}}=\cos(x)+\sin(x)\\\\\\ f'(x)\cdot\sqrt{1-(\underbrace{\sin^2(x)-2\sin(x)\cos(x)+\cos^2(x)}_{1-\sin(2x)})}=\cos(x)+\sin(x)\\\\\\ f'(x)\cdot \sqrt{\sin(2x)}=\cos(x)+\sin(x)[/tex]

Divida ambos os lados da igualdade por um fator [tex]\sqrt{\sin(2x)}[/tex]

[tex]f'(x)=\dfrac{\cos(x)+\sin(x)}{\sqrt{\sin(2x)}}~~\blacksquare[/tex]

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