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[tex]\Large\red{\boxed{\boxed{\boxed{\sf 18~m~e~32~m}}}}[/tex]
Explicação passo-a-passo:
Primeiro descobre-se a área do quadrilátero à direita.
Esse, nós podemos e devemos dividir em dois triângulos retângulos.
Assim a área dele será:
[tex]\sf A_{total} = A_1 + A_2[/tex]
Lembrando que podemos calcular a área de um triângulo pelo produto de sua base e altura, ambos divididos por 2.
Ou seja:
[tex]\Large\boxed{\sf A = \dfrac{b \cdot h}{2}}[/tex]
Substituindo para o quadrilátero à direita, teremos:
[tex]\sf A_{total} = A_1 + A_2[/tex]
[tex]\sf A_{total} = (\dfrac{b \cdot h}{2})_1 + (\dfrac{b \cdot h}{2})_2[/tex]
[tex]\sf A_{total} = (\dfrac{30 \cdot 30}{2}) + (\dfrac{6 \cdot 42}{2})[/tex]
[tex]\sf A_{total} = 450 + 126[/tex]
[tex]\red{\sf A_{total} = 576~m^2}[/tex]
Agora que temos a área do quadrilátero à direita e sabemos que a área do retângulo tem a mesma área, descobriremos o valor do x.
Lembrando que a área de um retângulo pode ser calculado pelo produto entre a sua base e a sua altura.
Matematicamente:
[tex]\Large\boxed{\sf A_{ret} = B \cdot h}[/tex]
Substituindo a área, a base e a altura na fórmula teremos:
[tex]\sf 576 = (x + 14) \cdot x[/tex]
[tex]\sf (x + 14) \cdot x = 576[/tex]
[tex]\sf x^2 + 14x - 576 = 0 [/tex]
Calculando a equação do segundo grau por soma e produto teremos:
[tex]\sf x_1 + x_2 = - \dfrac{b}{a}[/tex]
[tex]\sf x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}[/tex]
Substituindo:
[tex]\sf x_1 + x_2 = - \dfrac{14}{1}[/tex]
[tex]\sf x_1 \cdot x_2 = \dfrac{-576}{1}[/tex]
_________________________________
[tex]\sf x_1 + x_2 = - 14[/tex]
[tex]\sf x_1 \cdot x_2 = - 576[/tex]
_________________________________
[tex]\sf -32 + 18 = - 14[/tex]
[tex]\sf -32 \cdot 18 = - 576[/tex]
Ou seja, as duas raízes são:
[tex]\sf x_1 = - 32[/tex]
[tex]\red{\sf x_2 = 18}[/tex]
Como estamos falando de geometria, não convém uma raíz negativa, afinal não convém uma unidade de medida negativa. Dessa forma, nossa raíz será:
[tex]\sf x = 18[/tex]
Portanto; as medidas dos lados do retângulo deverão ser:
[tex]\Large x = \red{\boxed{\sf 18}}[/tex]
e
[tex]\Large x + 14 = 18 + 14 = \red{\boxed{\sf 32}}[/tex]
Espero que eu tenha ajudado.
Bons estudos!
