Nas condições dadas, o vetor v pode ser [tex]\bf\left(3\sqrt{6},\,-3\sqrt{6},\,6\right)[/tex] ou [tex]\bf\left(3\sqrt{6},\,-3\sqrt{6},\,-6\right).[/tex]
Explicação
Queremos encontrar um vetor v que satisfaça, ao mesmo tempo, as seguintes condições:
i) é ortogonal ao vetor u = (1, 1, 0);
ii) o ângulo entre v e o vetor w = (1, -1, 0) é 30°;
iii) | v | = 12.
Um vetor é dito ortogonal a outro se o produto interno entre eles é igual a zero.
Desse modo, seja v = (x, y, z) e considere o produto interno usual. Como v é ortogonal a u = (1, 1, 0), temos:
[tex]\Large\text{$\begin{gathered}\langle v,\,u\rangle=0\\\\x\cdot1+y\cdot1+z\cdot0=0\\\\x+y=0\\\\\boxed{x=-y}\quad(\ast)\end{gathered}$}[/tex]
O ângulo [tex]\theta[/tex] entre dois vetores v e w é tal que:
[tex]\Large\text{$\cos\theta=\dfrac{\langle v,\,w\rangle}{|v|\cdot|w|}$,}[/tex]
em que [tex]\langle v,\,w \rangle[/tex] é o produto interno entre os vetores u e w, [tex]|v|[/tex] é a norma de v e [tex]|w|[/tex] é a norma de w.
Como a condição (ii) é a de que o ângulo entre os vetores v e w é 30º, temos [tex]\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.[/tex] Além disso, a condição (iii) diz que |v| = 12. Então, agora só precisamos calcular o produto interno entre v e w e a norma de w.
Produto interno entre v e w
[tex]\Large\text{$\begin{aligned}\langle v,\,w\rangle&=x\cdot1+y\cdot(-1)+z\cdot0\\\\&=x-y\end{aligned}$}[/tex]
Norma de w
[tex]\Large\text{$\begin{aligned}|w|&=\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}\\\\&=\sqrt{1+1+0}\\\\&=\sqrt{2}\end{aligned}$}[/tex]
Daí, segue que:
[tex]\Large\text{$\displaystyle\begin{gathered}\cos30^{\circ}=\frac{x-y}{12\cdot\sqrt{2}}\\\\\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x-y}{12\sqrt{2}}\\\\2(x-y)=12\sqrt{6}\\\\x-y=\frac{12\sqrt{6}}{2}\\\\\boxed{x-y=6\sqrt{6}}\quad(\ast\ast)\end{gathered}$}[/tex]
Assim, substituindo [tex](\ast)[/tex] em [tex](\ast\ast),[/tex] temos:
[tex]\Large\text{$\begin{gathered}-y-y=6\sqrt{6}\\\\-2y=6\sqrt{6}\\\\\boxed{y=-3\sqrt{6}}\end{gathered}$}[/tex]
Dessa maneira, decorre que:
[tex]\Large\boxed{\text{$x=3\sqrt{6}$}}[/tex]
Agora, para acharmos a coordenada z, vamos usar o fato de que |v| = 12. Assim sendo, temos:
[tex]\Large\text{$\begin{gathered}\sqrt{x^2+y^2+z^2}=12\\\\x^2+y^2+z^2=144\\\\\left(3\sqrt{6}\right)^2+\left(-3\sqrt{6}\right)^2+z^2=144\\\\54+54+z^2=144\\\\108+z^2=144\\\\z^2=144-108\\\\z^2=36\\\\\boxed{z=\pm6}\end{gathered}$}[/tex]
Logo, o vetor procurado é
[tex]\Large\boxed{\boxed{\text{$v=\left(3\sqrt{6},\,-3\sqrt{6},\,6\right)$}}}[/tex]
ou
[tex]\Large\boxed{\boxed{\text{$v=\left(3\sqrt{6},\,-3\sqrt{6},\,-6\right)$}}}[/tex]
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