Explicação passo a passo:
A forma geral do termo de uma Progressão Aritmética é:
[tex]a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r[/tex]
Onde:
[tex]a_{1}[/tex] é o primeiro termo;
[tex]n[/tex] é o termo;
[tex]r[/tex] é a razão;
Temos uma PA onde [tex]a_{4}=28[/tex] e [tex]a_{7}=13[/tex]. Substituindo essas informações na fórmula do termo, teremos:
[tex]28=a_1+3\cdot r\quad\quad(I)\\13=a_1+6\cdot r\quad\quad(II)\\[/tex]
Multiplicando [tex](I)[/tex] por [tex](-2)[/tex] e somando com [tex](II)[/tex] membro a membro, teremos:
[tex]-56=-2a_1-6\cdot r\quad\quad(I')\\13=a_1+6\cdot r\quad\quad(II)\\[/tex]
[tex](I')+(II):-56+13=-2a_1+a-1-6r+6r\\(I')+(II):-43=-a_1\\(I')+(II):a_1=43[/tex]
Substituindo [tex]a_1=43[/tex] em [tex](II)[/tex]:
[tex]13=43+6\cdot r\\6r=-30\\r=-5[/tex]
Portanto, a forma geral do termo dessa PA é:
[tex]a_n=43+(n-1)\cdot(-5)\\a_n=43-5n+5\\a_n=48-5n[/tex]
A fórmula da soma dos termos de uma PA é:
[tex]S_{n}=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}[/tex]
Para aplicá-la, precisamos calcular o décimo termo. Logo:
[tex]a_{10}=48-5\cdot10\\a_{10}=48-50\\a_{10}=-2[/tex]
Substituindo:
[tex]S_{10}=\frac{(43+(-2))\cdot 10}{2}\\S_{10}=\frac{41\cdot 10}{2}\\S_{10}=\frac{410}{2}\\S_{10}=205[/tex]
