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Lembre-se de que (x+y)3=x3+3xy2+3x2y+y3. Se x+y=12 e xy=2, então qual o valor de x3+y3?

Sagot :

Zadie

Nas condições dadas, o valor de x³ + y³ é 1656.

Explicação

Supondo x + y = 12 e xy = 2, deseja-se saber qual o valor de x³ + y³.

Para saber tal valor, vamos partir da fórmula do cubo da soma, que foi dada no enunciado desta questão. Veja:

[tex]\Large\text{$\begin{gathered}(x+y)^3=x^3+3xy^2+3x^2y+y^3\implies\\\\\implies(x+y)^3-3xy^2-3x^2y=x^3+y^3\implies\\\\\implies x^3+y^3=(x+y)^3-3xy^2-3x^2y\implies\\\\\implies x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(y+x)\implies\\\\\implies x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\end{gathered}$}[/tex]

Como x + y =12 e xy = 2, segue que:

[tex]\Large\text{$\begin{aligned}x^3+y^3&=(x+y)^3-3xy(x+y)\\\\&=(12)^3-3\cdot2\cdot(12)\\\\&=1728-72\\\\&=1656\end{aligned}$}[/tex]

Portanto, o valor procurado é:

[tex]\Large\boxed{\boxed{\text{$x^3+y^3=1656$.}}}[/tex]

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