⠀⠀O valor do primeiro termo desta Progressão Geométrica é igual a – 1, correspondendo à alternativa e).
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Considerações
⠀⠀Foi nos dado o seguinte sistema de equações:
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[tex]\LARGE\boldsymbol{\begin{array}{l}\begin{cases}a_1+a_5=-\,17~~_{(\,I\,)}\\a_2\cdot a_4=16~~~_{(\,II\,)}\end{cases}\end{array}}[/tex]
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⠀⠀Ele nos apresenta uma soma e um produto de alguns termos de uma P.G., e nosso objetivo é encontrar o valor de seu primeiro termo. Veja que a questão também nos diz que essa progressão possui razão [tex]q > 1[/tex], isto é, sua razão é maior que 1, então guardemos essa informação pois será importante mais para frente.
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Resolução
⠀⠀Antes de tudo, usaremos a fórmula do termo geral da P.G. abaixo
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[tex]\LARGE\boldsymbol{\begin{array}{l}a_n=a_1\cdot q^{n-1}\end{array}}[/tex]
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, onde [tex]a_n[/tex]: termo qualquer; [tex]a_1[/tex]: primeiro termo; [tex]n[/tex]: quantidade de termos; e [tex]q[/tex]: razão. Como buscaremos o primeiro termo também precisaremos da razão, então nosso intuito será aplicar essa formula nos termos das equações a fim de transparecer o primeiro termo e a razão.
⠀⠀Vamos estar resolvendo esse sistema pelo método da substituição, então primeiro aplicaremos a formula do termo geral e isolaremos [tex]a_1[/tex] na equação ( ɪ ), depois volto com mais detalhes:
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[tex]\Large\begin{array}{c}a_1+a_5=-\,17\\\\a_1+a_1\cdot q^{5-1}=-\,17\\\\a_1+a_1\cdot q^4=-\,17\\\\a_1\cdot(1+q^4)=-\,17\\\\\!\boxed{a_1=-\,\dfrac{17}{1+q^4}}\end{array}[/tex]
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⠀⠀Beleza! Esse é o valor que vai definir nosso primeiro termo, só falta encontrarmos a razão [tex]q[/tex], e para isso, seguindo o método da substituição, substituiremos o valor provisório de [tex]a_1[/tex] na equação ( ɪɪ ). Só que antes, também aplicaremos a formula supramencionada em seus termos:
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[tex]\Large\begin{array}{c}a_2\cdot a_4=16\\\\a_1\cdot q^{2-1}\cdot a_1\cdot q^{4-1}=16\\\\a_1\cdot q^1\cdot a_1\cdot q^3=16\\\\a_1\,\!^2\cdot q^{1+3}=16\\\\a_1\,\!^2\cdot q^4=16\end{array}[/tex]
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⠀⠀Agora sim, substituindo o valor de [tex]a_1[/tex] e isolando [tex]q[/tex], obtemos (lembrando que estamos usando bastante fatoração, produto notáveis e propriedades da potenciação):
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[tex]\Large\begin{array}{c}\bigg(\!\!-\dfrac{17}{1+q^4}\bigg)^{\!2}\cdot q^4=16\\\\\dfrac{289}{(1+q^4)^2}\cdot q^4=16\\\\\dfrac{289q^4}{(1)^2+2\cdot1\cdot q^4+(q^4)^2}=16\\\\\dfrac{289q^4}{1+2q^4+q^8}=16\\\\\dfrac{289q^4}{q^0+2q^4+q^8}=16\\\\\dfrac{289q^4}{q^4\cdot(q^{-4}+2+q^4)}=16\\\\\dfrac{289}{q^{-4}+2+q^4}=16\\\\289=(q^{-4}+2+q^4)\cdot16\\\\289=16q^{-4}+32+16q^4\\\\289-32=\dfrac{16}{q^4}+16q^4\\\\257=\dfrac{16}{q^4}+16q^4\end{array}[/tex]
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[tex]\Large\begin{array}{c}257\cdot q^4=\dfrac{16}{q^4}\cdot q^4+16q^4\cdot q^4\\\\257q^4=16+16q^8\\\\16q^8-257q^4+16=0\end{array}[/tex]
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⠀⠀Veja que encontramos uma equação semelhante à uma equação quadrática. Para encontrar suas raízes, iremos aplicar um artifício fazendo a substituição [tex]k=q^4[/tex] e [tex]k^2=q^8[/tex], de modo que tenhamos:
[tex]\Large\begin{array}{c}16k^2-257k+16=0\end{array}[/tex]
⠀⠀Assim, calculando [tex]k[/tex] pela formula de Bhaskara obtemos:
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[tex]\Large\begin{array}{c}k=\dfrac{-\,b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\k=\dfrac{-\,(-\,257)\pm\sqrt{(-\,257)^2-4\cdot16\cdot16}}{2\cdot16}\\\\k=\dfrac{257\pm\sqrt{66049-1024}}{32}\\\\k=\dfrac{257\pm\sqrt{65025}}{32}\\\\k=\dfrac{257\pm255}{32}\\\\\begin{cases}k_1=\dfrac{257+255}{32}=\dfrac{512}{32}=16\\\\k_2=\dfrac{257-255}{32}=\dfrac{2}{32}=\dfrac{1}{16}\end{cases}\end{array}[/tex]
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⠀⠀E por fim, recambiando a substituição [tex]q^4=k[/tex]:
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[tex]\Large\begin{array}{c}q^4=k_1\\\\q^4=16\\\\|q|=\sqrt[4]{16}\\\\q=\pm~2\end{array}~~\begin{array}{c}\vee\end{array}~~\begin{array}{c}q^4=k_2\\\\q^4=\dfrac{1}{16}\\\\|q|=\sqrt[4]{\dfrac{1}{16}}\\\\q=\pm~\dfrac{1}{2}\end{array}[/tex]
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⠀⠀Por conseguinte, obtemos os possíveis valores reais para a razão da nossa P.G.:
- [tex]q=2,~q=-\,2,~q=\frac{1}{2}~ou~q=-\frac{1}{2}[/tex].
⠀⠀Lembra que a questão nos disse que [tex]q > 1[/tex] ? Pois bem, a razão é restritamente maior que 1, logo temos somente [tex]q=2[/tex] já que os outros valores são menores que 1.
⠀⠀Pra finalizar essa resolução, vamos substituir o valor encontrado de [tex]q[/tex] na equação em que [tex]a_1[/tex] foi isolado para encontrar, finalmente, seu valor:
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[tex]\Large\begin{array}{c}a_1=-\,\dfrac{17}{1+q^4}\\\\a_1=-\,\dfrac{17}{1+2^4}\\\\a_1=-\,\dfrac{17}{1+16}\\\\a_1=-\,\dfrac{17}{17}\\\\\!\!\boldsymbol{\boxed{a_1=-\,1}}\end{array}[/tex]
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⠀⠀Conclui-se, portanto, que seu primeiro termo é igual a – 1, logo a alternativa e) é a correta.
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[tex]\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}[/tex]
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