a) [tex]\bf x\geq\dfrac{4}{3}.[/tex]
b) [tex]\bf S=\{2\}.[/tex]
Explicação
É dada a seguinte equação modular:
[tex]\Large\text{$|2x-6|=3x-4.$}[/tex]
Deseja-se saber qual a condição de existência da igualdade e qual seu conjunto solução.
Antes de responder aos dois itens desta tarefa, vamos recordar a definição de módulo.
_____
Módulo
Seja [tex]x\in\mathbb{R}.[/tex] Chama-se módulo ou valor absoluto de [tex]x,[/tex] denotado por [tex]|x|,[/tex] ao número obtido a partir da seguinte relação:
[tex]\Large\text{$|x|=\begin{cases}x&\text{ se }x\geq0\\\\-x&\text{ se }x<0\end{cases}$}[/tex]
_____
Geometricamente, o módulo de um número pode ser visto como a distância do ponto cujo ele é coordenada à origem da reta real.
Desse modo, o módulo é sempre não negativo, isto é:
[tex]\Large\text{$|x|\geq0.$}[/tex]
Então, para que uma igualdade do tipo
[tex]\Large\text{$|x|=k$}[/tex]
exista, deve-se ter:
[tex]\Large\text{$k\geq0.$}[/tex]
Agora, vamos à resolução dos dois itens desta questão.
Item a
Dada a equação
[tex]\Large\text{$|2x-6|=3x-4,$}[/tex]
qual é a condição de existência da igualdade?
Como mencionado anteriormente, o módulo é sempre não negativo. Daí, devemos ter:
[tex]\Large\text{$3x-4\geq0.$}[/tex]
Consequentemente, segue que:
[tex]\Large\text{$\begin{gathered}3x-4\geq0\implies\\\\\implies3x\geq4\implies\\\\\implies x\geq\dfrac{4}{3}\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, a condição de existência da igualdade dada é:
[tex]\Large\boxed{\boxed{x\geq\dfrac{4}{3}.}}[/tex]
Item b
Considerando a condição de existência, qual a solução da equação dada?
Se [tex]k>0[/tex] e [tex]|x|=k,[/tex] então, lembrando a definição de módulo, temos:
[tex]\Large\text{$x=k$ ou $x=-k.$}[/tex]
Desse modo, segue que:
[tex]\Large\text{$|2x-6|=3x-4\implies\begin{cases}2x-6=3x-4&(i)\\\\2x-6=-(3x+4)&(ii)\end{cases}$}[/tex]
Equação (i):
[tex]\Large\text{$\begin{gathered}2x-6=3x-4\\\\2x-3x=-4+6\\\\-x=2\\\\\boxed{x=-2}\end{gathered}$}[/tex]
Equação (ii):
[tex]\Large\text{$\begin{gathered}2x-6=-(3x-4)\\\\2x-6=-3x+4\\\\2x+3x=4+6\\\\5x=10\\\\\boxed{x=2}\end{gathered}$}[/tex]
No entanto, como [tex]x\geq\dfrac{4}{3},[/tex] a solução [tex]x=-2[/tex] não é conveniente. Logo, o conjunto solução desta equação modular é:
[tex]\Large\boxed{\boxed{S=\{2\}.}}[/tex]
Dúvidas? Comente.
Espero ter ajudado! :)
