⠀⠀Sabendo que a função afim [tex]\small\text{$f(x)=ax+b$}[/tex] é tal que [tex]\small\text{$f(1)=5$}[/tex] e [tex]\small\text{$f(-\,2)=-\,4$}[/tex], determinamos em cada item que:
- a) [tex]a=3[/tex] e [tex]b=2[/tex];
- b) o gráfico está em anexo;
- c) [tex]x=-\,\frac{2}{3}[/tex].
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Resolução
⠀⠀Acompanhe detalhadamente a resolução de cada item. Desejamos:
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a) determinar os valores de [tex]\large\boldsymbol{\text{$a$}}[/tex] e [tex]\large\boldsymbol{\text{$b$}}[/tex].
⠀⠀Esses são os coeficientes — angular e linear, respectivamente — da função [tex]\small\text{$f$}[/tex]. Há diversas formas de encontrar seus valores com base nos dados que a questão nos deu, mas o que vamos fazer aqui é determinar dois pontos [tex]M[/tex] e [tex]N[/tex] pertencentes à reta desta função: veja que se [tex]\small\text{$f(x)=y$}[/tex] temos um ponto genérico [tex]\small\text{$(x~,~y)$}[/tex], logo se [tex]\small\text{$f(1)=5$}[/tex] temos [tex]\small\text{$M(1~,~5)$}[/tex] e se [tex]\small\text{$f(-\,2)=-\,4$}[/tex] temos [tex]\small\text{$N(-\,2~,\,-\,4)$}[/tex]. Por conseguinte, através da fórmula abaixo podemos fazer as substituições para encontrar o coeficiente angular, sendo [tex]x_m[/tex] e [tex]y_m[/tex] as coordenadas do ponto [tex]M[/tex] e [tex]x_n[/tex] e [tex]y_n[/tex] as coordenadas do ponto [tex]N[/tex]:
[tex]\qquad\qquad\Large\begin{array}{c}a=\dfrac{y_n-y_m}{x_n-x_m}\\\\a=\dfrac{-\,4-5}{-\,2-1}\\\\a=\dfrac{-\,9}{-\,3}\\\\\!\boxed{a=3}\end{array}[/tex]
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⠀⠀E para determinar o valor do coeficiente linear podemos utilizar a fórmula abaixo:
[tex]\qquad\Large\begin{array}{c}b=\dfrac{y_mx_n-y_nx_m}{x_n-x_m}\\\\b=\dfrac{5(-\,2)-(-\,4)1}{-\,2-1}\\\\b=\dfrac{-\,10+4}{-\,3}\\\\b=\dfrac{-\,6}{-\,3}\\\\\!\boxed{b=2}\end{array}[/tex]
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⠀⠀Portanto, [tex]a=3[/tex] e [tex]b = 2[/tex].
- Obs.: as duas formulas que usamos podem ser obtidas fazendo-se a diferença e algumas manipulações algébricas entre as funções [tex]\small\text{$y_m=ax_m+b$}[/tex] e [tex]\small\text{$y_n=ax_n+b$}[/tex], só não demonstrei para que a resolução não ficasse muito extensa (caso queira entender melhor como chegar nelas, por favor deixe um comentário).
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b) determinar o gráfico de [tex]\large\boldsymbol{\text{$f$}}[/tex].
⠀⠀Tendo o valor dos coeficientes encontrados no item a) obtemos a lei de formação da função [tex]\small\text{$f$}[/tex], que é a seguinte: [tex]\small\text{$f(x)=ax+b~\to~f(x)=3x+2$}[/tex]. Com a função definida podemos determinar seu gráfico, e para isso podemos atribuir um(ns) valor(es) para [tex]x[/tex] que correspondentemente teremos o(s) valor(es) de [tex]y[/tex], assim obtendo par(es) ordenado(s) [tex]\small\text{$(x~,~y)$}[/tex]. A ideia disso é ''jogar'' os pontos no plano cartesiano e traçar a reta que passa sobre eles. Entretanto, como já encontramos dois pontos anteriormente, para não perder tempo vamos pegá-los e colocá-los no plano, assim traçando a reta e definindo o gráfico de [tex]\small\text{$f$}[/tex] (VEJA O GRÁFICO EM ANEXO).
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c) determinar o valor de [tex]\large\boldsymbol{\text{$x$}}[/tex] para qual [tex]\large\boldsymbol{\text{$f(x)=0$}}[/tex].
⠀⠀Como falei no item b), a lei de formação da nossa função é [tex]\small\text{$f(x)=3x+2$}[/tex]. Se queremos determinar o valor de [tex]x[/tex] para que a função seja nula, basta fazermos a substituição e calcular para [tex]x[/tex]:
[tex]\qquad\qquad\quad\Large\begin{array}{c}f(x)=0\\\\3x+2=0\\\\3x=-\,2\\\\\!\boxed{x=-\,\dfrac{2}3}\end{array}[/tex]
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⠀⠀Portanto, [tex]x[/tex] deve ser igual a [tex]-\,\frac{2}{3}[/tex] para que [tex]\small\text{$f(x)$}[/tex] seja nula.
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[tex]\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}[/tex]
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