A alternativa correta é a letra B.
A Lei de Resfriamento de Newton dada por:
[tex] \displaystyle \frac {dT} {dt} = k (T - A) [/tex]
Onde T é a temperatura do café, A é a temperatura ambiente e k é uma constante positiva.
Sabemos que o café esfria de 100° C a 90° C em um minuto a uma temperatura ambiente A de 25° C.
E queremos saber a temperatura do café depois de quatro minutos.
Primeiro, resolva a equação diferencial. Multiplique ambos os lados por dt e divida ambos os lados por (T - A). Por isso:
[tex] \displaystyle \frac {dT} {T-A} = k \ dt [/tex]
Faça a integral de ambos os lados:
[tex] \displaystyle \int \frac {dT} {T-A} = \int k \ dt [/tex]
Integrar:
[tex] \displaystyle \left | T-A \right | = kt + C [/tex]
Levante ambos os lados para e:
[tex] | T - A | = e ^ {kt + C} = Ce ^ {kt} [/tex]
A temperatura do café T será sempre maior ou igual à temperatura ambiente A. Assim, podemos retirar o valor absoluto:
[tex] \displaystyle T = Ce ^ {kt} + A [/tex]
Recebemos que A = 25. Portanto:
[tex] \displaystyle T = Ce ^ {kt} + 25 [/tex]
Como o café esfria de 100° C a 90° C, a temperatura inicial do café era de 100° C. Assim, quando t = 0, T = 100:
[tex] 100 = Ce ^ {k (0)} + 25 [/tex] → [tex] C = 75 [/tex]
Por isso:
[tex] T = 75e ^ {kt} + 25[/tex]
Sabemos que o café esfria de 100° C a 90° C após um minuto à temperatura ambiente de 25 ° C.
Então, T = 90 dado que t = 1. Substitua:
[tex] 90 = 75e ^ {k (1)} + 25 [/tex]
Resolva para k:
[tex] \displaystyle e ^ k = \frac {13} {15} [/tex] → [tex] k = \left (\frac {13} {15} \right) [/tex]
Portanto:
[tex] \displaystyle T = 75e ^ {(13/15) t} + 25 [/tex]
Depois de quatro minutos, a temperatura do café será:
[tex] \begin{gathered}\displaystyle \begin{aligned} T(4)&=75e^{(13/15)(4)}+25 = \boxed {67^\circ\text{C}}\end{aligned}\end{gathered} [/tex]
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