Resposta: [tex]Var(X)=3[/tex]
Dados:
[tex]\Omega=\{0\;;\;1\;;\;2\;;\;3\;;\;4\;;\;5\}[/tex]
[tex]P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=a[/tex]
[tex]P(X=4)=P(X=5)=b[/tex]
[tex]P(X\geq2)=3P(X<2)[/tex]
Resolução:
[tex]P(X\geq2)=3P(X<2)\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=3[P(X=0)+P(X=1)]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a+a+b+b=3(a+a)\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2a+2b=3\times 2a\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2b=6a-2a\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2b=4a\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow b=2a[/tex]
Como a soma de todas as probabilidades é sempre igual a 1, temos que:
[tex]P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=1\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a+a+a+a+b+b=1\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 4a+2b=1\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 4a+2\times 2a=1\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 4a+4a=1\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 8a=1\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{8}[/tex]
Temos ainda que:
[tex]b=2a\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow b=2\times\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow b=\dfrac{1}{4}[/tex]
A Variância Amostral pode ser calculada através da seguinte expressão:
[tex]Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2[/tex]
Lembremos ainda que:
[tex]E(X)=\displaystyle\sum^n_{i=1}x_iP(X=x_i)[/tex]
E que:
[tex]E(X^2)=\displaystyle\sum^n_{i=1}x_i^2P(X=x_i)[/tex]
Aplicando as fórmula a este exercício, temos que:
[tex]E(X)=\displaystyle\sum^6_{i=1}x_iP(X=x_i)\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow E(X)=0\times P(X=0)+1\times P(X=1)+...+5\times P(X=5)\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow E(X)=0\times\dfrac{1}{8}+1\times\dfrac{1}{8}+2\times\dfrac{1}{8}+3\times\dfrac{1}{8}+4\times\dfrac{1}{4}+5\times\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow E(X)=0+\dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{4}{4}+\dfrac{5}{4}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow E(X)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{8}{8}+\dfrac{10}{8}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow E(X)=\dfrac{24}{8}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow E(X)=3[/tex]
[tex]E(X^2)=\displaystyle\sum^6_{i=1}x_i^2P(X=x_i)\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow E(X^2)=0^2\times P(X=0)+1^2\times P(X=1)+...+5^2\times P(X=5)\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow E(X^2)=0\times\dfrac{1}{8}+1\times\dfrac{1}{8}+4\times\dfrac{1}{8}+9\times\dfrac{1}{8}+16\times\dfrac{1}{4}+25\times\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow E(X^2)=0+\dfrac{1}{8}+\dfrac{4}{8}+\dfrac{9}{8}+\dfrac{16}{4}+\dfrac{25}{4}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow E(X^2)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{4}{8}+\dfrac{9}{8}+\dfrac{32}{8}+\dfrac{50}{8}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow E(X^2)=\dfrac{96}{8}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow E(X^2)=12[/tex]
[tex]Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow Var(X)=12-3^2\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow Var(X)=12-9\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow Var(X)=3[/tex]
Podes ver mais exercícios sobre Leis Estatísticas em:
X assume apenas os valores 0, 1, 2, 3, 4 e 5.
A função densidade de probabilidade de X é dada por:
P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = a
P(X = 4) = P(X = 5) = b
P(X≥2) = 3P(X<2)
P[X=2]+P[X=3]+P[X=4]+P[X=5] = 3 *{ P[X=0}+P[X=1] }
a+a+b+b=3*(a+a)
2a+2b=6a
2b=4a
b=2a
A soma tem ser ==> 4a+2b=1 ..sendo 2b=4a
4a+4a=1 ==>a=1/8 e b=2a=1/4
A variância de X é igual a :
Var[X] =E[X²]-[E(X)]²
E[X] x1*P(X=x1)+....+xn*P[X=xn]
E(X) =0*1/8+1*1/8+2*1/8+3*1/8 +4 *1/4 +5 *1/4
E(X) =6/8 +9/4=24/8=3
E[X²] x1²*P(X=x1)+....+xn²*P[X=xn]
E[X²]=0²*1/8+1²*1/8+2²*1/8+3²*1/8 +4²*1/4+5² *1/4
E[X²]=14/8 +41/4 =7/4+41/4=12
Var[X]= 12 - (3)²
Var[X]= 12 -9
