O Sistersinspirit.ca facilita a busca por respostas para suas perguntas com a ajuda de uma comunidade ativa. Obtenha respostas rápidas e confiáveis para suas perguntas de nossa dedicada comunidade de especialistas em nossa plataforma. Obtenha soluções rápidas e confiáveis para suas perguntas de profissionais experientes em nossa abrangente plataforma de perguntas e respostas.
Sagot :
Resposta:
a + b = 3
( ver em anexo o gráfico das funções deste exercício )
Explicação passo a passo:
A função f(x) = x² - 6x + 9 tem como representação gráfica uma parábola.
As retas tangentes à parábola são de dois tipos:
1) tangente à parábola no vértice da curva; esta tangente é única, pelo que
não será a que nos interessa
2) retas do tipo y = mx + n [ 1 ]
Esta é a equação de uma função afim, onde :
m = coeficiente angular
n = coeficiente linear
Repare que "m = coeficiente angular " está a referir-se ao ângulo que a reta
faz com o eixo do x.
Sendo assim "m" ,também chamado de declive da reta , tem valor igual à
a tangente do ângulo que a reta faz com eixo do x.
Pode-se calcular o valor desse declive à custa da 1ª derivada da função f(x)
no ponto de tangência.
m = derivada em ordem a x, da função f(x)
derivada de f(x) = ( x² - 6x + 9 ) '
assim f' (x) = 2x - 6
Logo m = 2x - 6
Mas o ponto de tangência, P tem de coordenadas ( 4 ; 1 )
Pegando na coordenada em x , temos imediatamente o valor de "m"
m = 2*4 - 6
m = 2
Já temos uma parte da expressão da função afim :
y = 2x + n
Para calcular o valor de "n" usamos as coordenadas do ponto P ( 4;1 )
1 = 2*4 + n
n = - 8 + 1
n = - 7
Já temos a equação da reta tangente, que passa no ponto P.
g(x) = 2x - 7
A outra reta tangente interseta a primeira tangente no ponto ( x ; - 1 )
Para encontrar a coordenada em x dessa segunda tangente, vamos
descobri-lo à custa de y = 2x - 7
- 1 = 2x - 7
- 1 + 7 = 2x
6 = 2x
x = 3
O ponto de interseção das duas tangentes tem de coordenadas ( 3 ; - 1)
Se temos duas retas tangentes à parábola , que se intersetam num ponto,
estamos a falar de duas retas simétricas em relação ao eixo de simetria da
parábola.
O quer dizer que o ponto (Q) de tangência ,da segunda tangente, vai ter a
mesma ordenada que a primeira tangente.
Coordenadas ( x ; 1 ) por referência a P ( 4 ; 1)
Mas,
obviamente , que este ponto de tangência pertence à parábola.
Daí
podermos determinar a coordenada que falta usando a expressão de f(x)
1 = x² - 6x + 9
x² - 6x + 9 - 1 = 0
x² - 6x + 8 = 0
a = 1
b = - 6
c = 8
Δ = b² - 4 * a * c
Δ = ( - 6 ) ² - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4
√Δ = √4 = 2
[tex]x_{1} =\frac{-(-6)+2}{2*1} =\frac{8}{2} =4[/tex]
ficaria ponto de coordenadas ( 4 ; 1 )
Mas este ponto já é dado no enunciado. Não é o que procuramos.
Buscar a segunda solução da equação do 2º grau
[tex]x_{2} =\frac{-(-6) -2}{2} =\frac{6-2}{2} =2[/tex]
Ficaria o ponto de coordenadas ( 2 ; 1 )
Ótimo. É este ponto que nos interessa.
No entanto o que se pede no enunciado é o valor da soma das
coordenadas deste ponto
2 + 1 = 3
Observação 1 → Para efeitos de gráfico vou calcular a expressão da função
h(x) que corresponde à segunda reta tangente a f(x)
Também do tipo y = mx + n
Passa nos pontos ( 2 ; 1 ) e ( 3 ; - 1 )
[tex]m=\frac{-1-1}{3-2} =\frac{-2}{1} =-2[/tex]
y = - 2x + n
Cálculo do "n"
1 = - 2 * 2 + n
1 + 4 = n
5 = n
y = - 2x + 5
Observação 2 → O calculo do "m", quando se conhecem dois pontos de
uma reta , é dado pela diferença das coordenadas em y a dividir pela
diferença das coordenadas em x
[ 1 ] a expressão y = mx + n é muitas vezes substituída por y = ax + b
"a" e "b" têm exatamente as mesmas designações que "m" e "n"
Bom estudo.
-------------------------------
Símbolos: ( * ) multiplicação ( ' ) primeira derivada
( [tex]x_{1}[/tex] e [tex]x_{2}[/tex] ) designações atribuídas às soluções da equação 2º grau
( Q ) segundo ponto de tangência
Esperamos que isso tenha sido útil. Por favor, volte sempre que precisar de mais informações ou respostas às suas perguntas. Agradecemos seu tempo. Por favor, nos revisite para mais respostas confiáveis a qualquer pergunta que possa ter. Estamos felizes em responder suas perguntas no Sistersinspirit.ca. Não se esqueça de voltar para mais conhecimento.