O valor procurado é [tex]\bf\dfrac{13}{30},[/tex] que é a resposta contida na alternativa a.
Explicação
Dado [tex]\log2=0{,}3,[/tex] deseja-se saber o valor de:
[tex]\Large\text{$\log_{100}\sqrt[3]{400}$.}[/tex]
Para a resolução desta questão, de início, vamos recordar a definição de logaritmo e apresentar algumas propriedades deste.
Definição de logaritmo
Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] dois números reais positivos e [tex]b\neq 1.[/tex] Chama-se logaritmo de [tex]a[/tex] na base [tex]b,[/tex] o expoente ao qual se deve elevar a número [tex]b[/tex] para se obter o valor [tex]a.[/tex] Isto é:
[tex]\Large\text{$\log_ba=x\iff b^x=a$.}[/tex]
Propriedades
Sejam [tex]a, b, c[/tex] e [tex]q[/tex] números reais positivos e [tex]b[/tex] e [tex]q[/tex] diferentes de 1. Além disso, considere [tex]\gamma\in\mathbb{R}.[/tex] Valem as seguintes propriedades:
i) Mudança de base
[tex]\Large\text{$\log_ba=\dfrac{\log_qa}{\log_qb}$}[/tex]
ii) Logaritmo da potência
[tex]\Large\text{$\log_b a^{\gamma}=\gamma\cdot\log_ba$}[/tex]
iii) Logaritmo do produto
[tex]\Large\text{$\log_b(a\cdot c)=\log_ba+\log_bc$}[/tex]
Agora, vamos à resolução da questão. Primeiro, será feita a mudança para a base 10. Depois, são usadas as outras propriedades. Veja:
[tex]\Large\text{$\displaystyle\begin{gathered}\log_{100}\sqrt[3]{400}=\\\\=\frac{\log\sqrt[3]{400}}{\log100}=\\\\=\frac{\log400^{\frac{1}{3}}}{2}=\\\\=\frac{\dfrac{1}{3}\cdot \log400}{2}=\\\\=\frac{\diagup\!\!\!\!3\cdot \dfrac{1}{\diagup\!\!\!\!3}\cdot \log400}{3\cdot 2}=\\\\=\frac{\log400}{6}\end{gathered}$}[/tex]
Note que podemos escrever 400 como [tex]4\cdot 100.[/tex] Desse modo, segue que:
[tex]\Large\text{$\displaystyle\begin{gathered}\frac{\log400}{6}=\\\\=\frac{\log(4\cdot 100)}{6}=\\\\=\frac{\log4+\log100}{6}=\\\\=\frac{\log2^2+2}{6}=\\\\=\frac{2\cdot\log2+2}{6}\end{gathered}$}[/tex]
Lembrando que estamos considerando a aproximação [tex]\log2=0{,}3,[/tex] decorre que:
[tex]\Large\text{$\displaystyle\begin{gathered}\frac{2\cdot\log2+2}{6}=\\\\=\frac{2\cdot0{,}3+2}{6}=\\\\=\frac{0{,}6+2}{6}=\\\\=\frac{2{,}6}{6}=\\\\=\frac{26}{10}\cdot \frac{1}{6}=\\\\=\frac{13}{10}\cdot\frac{1}{3}=\\\\=\frac{13}{30}\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, considerando [tex]\log2=0{,}3,[/tex] tem-se:
[tex]\Large\boxed{\boxed{\text{$\log_{100}\sqrt[3]{400}=\dfrac{13}{30}$.}}}[/tex]
Resposta: alternativa a.
Dúvidas? Comente.
Espero que tenha ajudado! :)
