Resposta:
B) 30 segundos e V=(15,225)
Explicação passo a passo:
Por se tratar de equação de 2º grau vamos utilizar Bhaskara para solucionar quando o foguete atinge o solo.
Lembrando que ao igualar uma equação de segundo grau a zero, estamos dizendo que a ordenada "y" no gráfico cartesiano será igual a zero para determinado valor de "x", por se tratar de uma parábola, teremos dois valores que "cortam" o eixo "x", ou seja, dois valores para "y" (h) igual a zero. Quando h for igual a zero o foguete está no chão. E como a solução vem da resolução de uma raiz quadrada (operação inversa a potência 2) chamamos esses valores de "raízes da função". Vamos à resolução:
Sendo uma função quadrática, do tipo:
[tex]ax^{2} +bx+c=0[/tex]
Podemos dizer que suas raízes são descritas por:
[tex]x=\frac{-b\frac{+}{} \sqrt{b^{2} -4ac} }{2a}[/tex]
Assumindo dois valores para "x", pois a raiz quadrada pode ser positiva ou negativa. Para as funções em questão temos:
a)
[tex]h(x)=-x^{2} +30x[/tex]
Para h(x)=0:
[tex]-x^{2} +30x[/tex]
[tex]x_{1} =\frac{-30+\sqrt{30^{2} -4(-1).0} }{2.(-1)}[/tex]
[tex]x_{1} =\frac{-30+\sqrt{900 } }{-2}[/tex]
[tex]x_{1} =\frac{-30+30 }{-2}=0[/tex]
Apesar dessa raiz já ser conhecida, pois o problema nos disse que o foguete partiu da origem, podemos ainda assim confirmar a informação
Agora vamos ao segundo momento do foguete ao solo:
b)
[tex]h(x)=-x^{2} +30x[/tex]
Para h(x)=0:
[tex]-x^{2} +30x[/tex]
[tex]x_{1} =\frac{-30-\sqrt{30^{2} -4(-1).0} }{2.(-1)}[/tex]
[tex]x_{1} =\frac{-30-\sqrt{900 } }{-2}[/tex]
[tex]x_{1} =\frac{-30-30 }{-2}=30[/tex]
Ou seja, como a coordenada x representa o tempo, aos 30 segundos o foguete toca o solo novamente!!
Agora vamos à segunda parte da questão, descobrir qual o ponto mais alto atingido pelo foguete.
Para descobrir qual é o vértice, podemos utilizar o conceito de derivada da função, que nos dá o coeficiente angular da reta que tangencia a função num ponto qualquer, logo, se igualarmos esse coeficiente angular (derivada da função) a zero teremos uma reta na horizontal, ou seja, em um ponto máximo ou mínimo da função. Ao analisar a equação de percebemos que o termo que multiplica com a variável quadrática é menor que zero (negativo), logo se trata de uma parábola com concavidade voltada para baixo, então nosso vértice será um ponto máximo da parábola. Derivando :
[tex]\lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}[/tex]
Aplicando no limite:
[tex]\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(-(x+\Delta x)^{2}+30(x+\Delta x)) -(-x^{2}+30x )}{\Delta x}[/tex]
[tex]\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(-(x^{2} +2x\Delta x+\Delta x^{2} )+30x+30\Delta x) -(-x^{2}+30x )}{\Delta x}[/tex]
[tex]\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(-x^{2} -2x\Delta x-\Delta x^{2} +30x+30\Delta x +x^{2}-30x )}{\Delta x}[/tex]
[tex]\lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2x\Delta x-\Delta x^{2} +30\Delta x }{\Delta x}[/tex]
[tex]\lim_{\Delta x \to 0} -2x-\Delta x +30 =-2x+30[/tex]
ou
[tex]\frac{dh}{dx} =-2x+30[/tex]
Agora vamos igualar a derivada a zero pra encontrarmos o ponto em que é máximo (vértice):
[tex]-2x+30=0\\2x=30\\x=15[/tex]
Agora aplicando na função para encontrar a coordenada "h" usando x=15:
[tex]h(x)=-x^{2} +30x[/tex]
[tex]h(15)=-(15^{2}) +30.(15)[/tex]
[tex]h(15)=-225 +450[/tex]
[tex]h(15)=225[/tex]
O vértice (ponto máximo) da função dada está em:
[tex]h_{max} :(15,225)[/tex]
