Explicação passo-a-passo:
OLÁ @PEDROABDALAH0
Análise Matemática
Temos o seguinte limite :
[tex]~~~~~\displaystyle\lim_{\sf{n \to \infty}}\sf{\left[\dfrac{n!}{n^n}\right]^{\frac{1}{n}} }\\[/tex]
Para a resolução , deste limite pode-se proceder de várias maneiras, dentre elas pode-se destacar a integral de Riemann e a fórmula do James Stirling .
Mas a aquí vamos apenas a apresentação via fórmula do James Stirling .
A fórmula do James Stirling diz que quando [tex]\sf{n\longrightarrow \infty }\\[/tex] , então podemos ter que :
[tex]~~~~~~\boxed{\sf{ n!~\sim~\sqrt{2\pi *n}*\left(\dfrac{n}{e}\right)^n } } \\[/tex] , deste modo , conclui-se que :
[tex]~~~~\displaystyle\lim_{\sf{n \to \infty}}\sf{\left[\dfrac{n!}{n^n}\right]^{\frac{1}{n}}}~\sim~\displaystyle\lim_{\sf{n \to \infty}}\sf{\left[\dfrac{\sqrt{2\pi *n}*\left(\dfrac{n}{e}\right)^n}{n^n}\right]^{\frac{1}{n}} }\\[/tex]
[tex]~~~~~=~\displaystyle\lim_{\sf{n \to \infty}}\sf{\dfrac{\sqrt[n]{\sqrt{2\pi * n}*\left(\frac{n}{e}\right)^n}}{\sqrt[n]{n^n}}}~=~\displaystyle\lim_{\sf{n \to \infty}}\sf{\dfrac{\sqrt[2n]{2\pi *n}*\frac{n}{e}}{n}} \\[/tex]
Perceba que:
se [tex]\sf{n \longrightarrow \infty} \\[/tex], então [tex]\sf{ \sqrt[2n]{2\pi * n}~\longrightarrow 1 } \\[/tex]
Daí que :
[tex]~~~~~=\displaystyle\lim_{\sf{n \to \infty}}\sf{\dfrac{ \frac{n}{e} }{n} } ~=~\displaystyle\lim_{\sf{n \to \infty}}\sf{\dfrac{1}{e}~=~\dfrac{1}{e} }\\[/tex]
[tex]~~~~\boxed{\green{ \displaystyle\lim_{\sf{n \to \infty}}\sf{\left[\dfrac{n!}{n^n}\right]^{\frac{1}{n}}~=~\dfrac{1}{e} } } } \\[/tex] ✓✓✓
This answer was elaborad by:
Murrima , Joaquim Marcelo
UEM(Moçambique)-DMI
