Primeiro lidamos com a soma dos termos da P.G. infinita presente do lado esquerdo.
Vamos descobrir a razão desta P.G. Para isso basta pegar um termo qualquer e dividir pelo seu antecessor:
[tex]q=\frac{12x}{60x}=\frac{12}{60}=\frac{1}{5}[/tex]
Agora que sabemos a razão e o primeiro termo desta P.G., podemos saber a soma dos seus infinitos termos através da seguinte relação:
[tex]S=\frac{a_1}{1-q}[/tex]
[tex]S=60x\div( 1-\frac{1}{5})[/tex]
[tex]S=60x\div( \frac{5}{5} -\frac{1}{5})[/tex]
[tex]S=60x\div \frac{4}{5}[/tex]
[tex]S=60x\cdot \frac{5}{4}[/tex]
[tex]S=\frac{300x}{4}[/tex]
[tex]S=75x[/tex]
Substituindo a soma descoberta acima na equação:
[tex]60x+12x+\frac{12x}{5}+...=7x^2+50[/tex]
[tex]75x=7x^2+50[/tex]
[tex]0=7x^2-75x+50[/tex]
[tex]7x^2-75x+50=0[/tex]
Aplicamos Bhaskara para descobrir as soluções da equação do 2º grau acima:
[tex]\triangle=b^2-4\cdot a\cdot c=(-75)^2-4\cdot 7\cdot 50=5625-1400=4225[/tex]
[tex]x_1=\frac{-b+\sqrt{\triangle} }{2a}= \frac{75+\sqrt{4225} }{2\cdot 7}=\frac{75+65}{14}=\frac{140}{14}=10[/tex]
[tex]x_2=\frac{-b-\sqrt{\triangle} }{2a}= \frac{75-\sqrt{4225} }{2\cdot 7}=\frac{75-65}{14}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}[/tex]
E finalmente podemos calcular a soma dos valores de "x" que verificam esta equação:
[tex]x_1+x_2=10+\frac{5}{7}=\frac{70}{7}+\frac{5}{7}=\frac{75}{7}[/tex]
Gabarito: A)
