Resposta:
Os valores de log₃(2), log₅(3), log₂(5) e log₃(100) são, respectivamente, 0,625; 0,686; 2,33; 4,166.
a) log₃(2).
Vamos trocar a base do logaritmo acima para a base 10.
A mudança de base de logaritmo é definida por log_a(b)=\frac{log_c(b)}{log_c(a)}log
a
(b)=
log
c
(a)
log
c
(b)
.
Sendo c = 10, obtemos:
log₃(2) = log(2)/log(3)
Como log(2) = 0,3 e log(3) = 0,48, podemos concluir que:
log₃(2) = 0,3/0,48
log₃(2) = 0,625.
b) log₅(3).
Novamente, vamos utilizar a mudança de base do logaritmo.
Considerando a base 10, temos que:
log₅(3) = log(3)/log(5).
Como log(3) = 0,48 e log(5) = 0,7, podemos concluir que:
log₅(3) = 0,48/0,7
log₅(3) ≈ 0,686.
c) log₂(5).
Fazendo a mudança de base para base 10, obtemos:
log₂(5) = log(5)/log(2).
Como log(5) = 0,7 e log(2) = 0,3, podemos concluir que:
log₂(5) = 0,7/0,3
log₂(5) ≈ 2,33.
d) log₃(100).
Primeiramente, observe que 100 = 10². Reescrevendo o logaritmo:
log₃(100) = log₃(10²) = 2.log₃(10).
Perceba que 5.2 = 10. Então, utilizando a propriedade do produto de logaritmos de mesma base:
log₃(100) = 2.log₃(5.2) = 2(log₃(5) + log₃(2)).
O valor de log₃(2) foi calculado no item a).
Já o valor de log₃(5) é igual a:
log₃(5) = log(5)/log(3)
log₃(5) = 0,7/0,48
log₃(5) ≈ 1,458.
Portanto, podemos concluir que:
log₃(100) = 2(1,458 + 0,625)
log₃(100) = 4,166.
