Olá, boa noite.
Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.
A área de uma região [tex]R[/tex] delimitada pelas funções [tex]f(x)[/tex] e [tex]g(x)[/tex], contínuas e integráveis em um intervalo fechado [tex][a,~b][/tex], onde [tex]f(x)\geq g(x)[/tex], é calculada pela integral [tex]\displaystyle{\iint_R\,dA=\int_a^b \int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}[/tex].
Observe que no intervalo indicado pelo enunciado, as funções mudam de sinal em pelo menos um ponto, isto é, em algum momento a curva da função estava abaixo do eixo e noutro, acima dele. (Veja a imagem em anexo).
Efetuamos a propriedade distributiva da multiplicação e reescrevemos a equação da curva: [tex]y=x^3-x^2-2x[/tex]
No intervalo [tex][-1,~0][/tex], [tex]x\cdot(x+1)\cdot(x-2)\geq0[/tex] e no intervalo [tex][0,~2][/tex], [tex]0\geq x\cdot(x-1)\cdot(x+2)[/tex].
Então, separamos as integrais utilizando a propriedade: [tex]\exists c\in[a,~b][/tex] tal que [tex]f(x)[/tex] é contínua em [tex]c[/tex] e [tex]\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx}[/tex].
[tex]\displaystyle{\int_{-1}^0 \int_{0}^{x^3-x^2-2x}\,dy\,dx+\int_0^2 \int_{x^3-x^2-2x}^0\,dy\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_{-1}^0x^3-x^2-2x\,dx+\int_0^2-(x^3-x^2-2x)\,dx}[/tex]
Aplique a linearidade
[tex]\displaystyle{\int_{-1}^0x^3\,dx-\int_{-1}^0x^2\,dx-2\cdot\int_{-1}^0x\,dx-\int_0^2x^3\,dx+\int_0^2x^2\,dx+2\cdot\int_0^2x\,dx}[/tex]
Para calcular estas integrais, aplique a regra da potência: [tex]\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R},~n\neq-1,}[/tex]
[tex]\dfrac{x^{3+1}}{3+1}-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}-2\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}~\biggr|_{-1}^0-\dfrac{x^{3+1}}{3+1}+\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+2\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}~\biggr|_0^2\\\\\\ \dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^3}{3}-x^2~\biggr|_{-1}^0-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}+x^2~\biggr|_0^2[/tex]
Aplique os limites de integração, de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: [tex]\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}[/tex], em que [tex]F(x)[/tex] é a antiderivada de [tex]f(x)[/tex].
[tex]\dfrac{0^4}{4}-\dfrac{0^3}{3}-0^2-\left(\dfrac{(-1)^4}{4}-\dfrac{(-1)^3}{3}-(-1)^2\right)-\dfrac{2^4}{4}+\dfrac{2^3}{3}+2^2-\left(-\dfrac{0^4}{4}+\dfrac{0^3}{3}+0^2\right)[/tex]
Calcule as potências e some os valores
[tex]-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-1\right)-4+\dfrac{8}{3}+4\\\\\\ \dfrac{37}{12}~\bold{u.~a}[/tex]
Esta é a área da região compreendida entre o eixo das abscissas e esta curva, neste intervalo.
