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Sagot :
Resposta: [tex]A_{total}=+\infty[/tex]
Resolução:
A área delimitada a cima pelo gráfico de uma função f e a baixo pelo gráfico de uma função g, no intervalo [tex][x_1\;;\;x_2][/tex] , pode ser calculada pela seguinte fórmula:
[tex]\boxed{\boxed{\;A=\displaystyle\int\limits^{x_2}_{x_1} {f(x)-g(x)}\;\;dx\;}}[/tex]
Sejam [tex]f(x)=x^3[/tex] e [tex]g(x)=x^5[/tex], para sabermos qual a função que limita a área por baixo e qual a que limita a área por cima, temos de visualizar o problema, representando os gráficos de ambas as funções. Podes encontrar esta representação nos anexos.
Analizando os gráficos, vemos que há 4 regiões diferentes:
- Em [tex]]-\infty\;;\;-1[[/tex] , onde em cima temos f e em baixo temos g;
- Em [tex]]-1\;;\;0][/tex] , onde em cima temos g e em baixo temos f;
- Em [tex]]0\;;\;1[[/tex] , onde em cima temos f e em baixo temos g;
- Em [tex]]1\;;\;+\infty[[/tex] , onde em cima temos g e em baixo temos f;
Podemos, então, concluir o seguinte:
[tex]A_{total}=A_1+A_2+A_3+A_4[/tex]
Onde:
[tex]A_1=\displaystyle\int\limits^{-1}_{-\infty} {f(x)-g(x)}\;dx\\\\\\A_2=\displaystyle\int\limits^{0}_{-1} {g(x)-f(x)}\;dx\\\\\\A_3=\displaystyle\int\limits^{1}_{0} {f(x)-g(x)}\;dx\\\\\\A_4=\displaystyle\int\limits^{+\infty}_{1} {g(x)-f(x)}\;dx[/tex]
Pelo gráfico, consigo ver que [tex]A_1[/tex] e [tex]A_2[/tex] são áreas infinitas, ou seja:
[tex]A_1=-\infty[/tex]
Este valor é negativo porque a área se encontra abaixo do eixo do x. No entanto, como queremos a área real e esta toma apenas valores positivos, podemos alegar que [tex]A_1=+\infty[/tex] .
[tex]A_2=+\infty[/tex]
Calculemos, agora, os valores das restantes áreas:
[tex]A_2=\displaystyle\int\limits^{0}_{-1} {g(x)-f(x)}\;dx\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow A_2=\displaystyle\int\limits^{0}_{-1} {x^5-x^3}\;dx\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow A_2=\left|\dfrac{x^6}{6}-\dfrac{x^4}{4}\right|^{0}_{-1}}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow A_2=\left[\dfrac{(-1)^6}{6}-\dfrac{(-1)^4}{4}\right]+\left(\dfrac{0^6}{6}-\dfrac{0^4}{4}\right)\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow A_2=\left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{4}\right)+\left(\dfrac{0}{6}-\dfrac{0}{4}\right)\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow A_2=\left(\dfrac{2}{12}-\dfrac{3}{12}\right)+\left(0-0\right)\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow A_2=\dfrac{2-3}{12}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow A_2=-\dfrac{1}{12}[/tex]
Este valor é negativo porque a área se encontra abaixo do eixo do x. No entanto, como queremos a área real e esta toma apenas valores positivos, podemos alegar que [tex]A_2=\dfrac{1}{12}[/tex] .
[tex]A_3=\displaystyle\int\limits^{1}_{0} {f(x)-g(x)}\;dx\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow A_3=\displaystyle\int\limits^{1}_{0} {x^3-x^5}\;dx\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow A_3=\left|\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^6}{6}\right|^{1}_{0}}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow A_3=\left(\dfrac{0^4}{4}-\dfrac{0^6}{6}\right)+\left(\dfrac{1^4}{4}-\dfrac{1^6}{6}\right)\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow A_3=\left(\dfrac{0}{4}-\dfrac{0}{6}\right)+\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}\right)\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow A_3=\left(0-0\right)+\left(\dfrac{3}{12}-\dfrac{2}{12}\right)\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow A_3=\dfrac{3-2}{12}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow A_3=\dfrac{1}{12}[/tex]
Para finalizar, somamos os valores das áreas:
[tex]A_{total}=A_1+A_2+A_3+A_4\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow A_{total}=+\infty+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{12}+(+\infty)\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow A_{total}=+\infty[/tex]
Nota: Por análise do gráfico, era óbvio que a área seria infinita. Ainda assim, fiz os cálculos para que possas entender como pensar em casos em que não consigas ver imediatamente se a área é ou não infinita.
Podes ver mais exercícios sobre o cálculo de áreas delimitadas por gráficos de funções em:
- https://brainly.com.br/tarefa/39766734
- https://brainly.com.br/tarefa/39953048
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