Olá, boa noite.
Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre equações quadráticas.
Dada a equação quadrática de coeficientes reais [tex]ax^2+bx+c=0,~a\neq0[/tex], suas soluções podem ser calculadas pela fórmula resolutiva: [tex]x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex].
Para que não houvesse custo, é necessário que a função custo seja igual a zero: [tex]C(x)=0[/tex].
Assim, teremos a equação quadrática:
[tex]x^2-5x+4=0[/tex]
Substituindo os coeficientes desta equação na fórmula resolutiva, temos:
[tex]x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot1}[/tex]
Calcule a potência, multiplique e some os valores
[tex]x=\dfrac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}\\\\\\ x=\dfrac{5\pm\sqrt{9}}{2}[/tex]
Calcule o radical, sabendo que [tex]9=3^2[/tex]
[tex]x=\dfrac{5\pm3}{2}[/tex]
Separe as soluções, some os valores e simplifique as frações:
[tex]x=\dfrac{5-3}{2}~~\bold{ou}~~ x=\dfrac{5+3}{2}\\\\\\\Rightarrow x=1~~\bold{ou}~~x=4[/tex]
Dessa forma, não haverá custos se a quantidade de produtos for igual a [tex]1[/tex] ou [tex]4[/tex] produtos [tex]\checkmark.[/tex]
