As equações que descrevem o movimento são
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\ddot{x}(t) +\frac{k}{m} x(t) = 0\\ \\\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x(t) = x_0\cos\left(\omega t\right)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}v(t) = \dot{x}(t) =- x_0 \, \omega \sin\left(\omega t \right)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}a(t) = \ddot{x}(t) = -x_0 \, \omega^2 \cos\left(\omega t\right)\end{gathered}$}[/tex]
a)
Diagrama de forças em anexo
b)
Considerando o diagrama de forças, podemos utilizar a segunda lei de Newton:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{F}_r = -\vec{F}_{\text{el}}\\ \\ma(t) = -kx(t)\end{gathered}$}[/tex]
Porém temos que
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}a(t) = \ddot{x}(t) = \frac{d^2}{dt^2}x(t)\end{gathered}$}[/tex]
Logo
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}m\ddot{x}(t) = -kx(t)\\ \\m\ddot{x}(t) + kx(t) = 0\\ \\\ddot{x}(t) +\frac{k}{m} x(t) = 0\\ \\\end{gathered}$}[/tex]
Podemos ainda fazer uma breve simplificação, fazendo que ω² = k/m, logo
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\ddot{x}(t) +\omega^2x(t) = 0\\ \\\end{gathered}$}[/tex]
c)
Dada a equação diferencial ordinária
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\ddot{x}(t) +\omega^2x(t) = 0\\ \\\end{gathered}$}[/tex]
Uma de suas soluções é
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x(t) = A\cos\left(\omega t + \varphi\right)\end{gathered}$}[/tex]
Como podemos verificar, fazendo a derivada e colocando na equação
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x(t) = A\cos\left(\omega t + \varphi\right)\\ \\\ddot{x}(t) = -\omega^2A\cos\left(\omega t + \varphi\right)\\ \\\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo na equação
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\ddot{x}(t) + \omega^2x(t) = 0\\ \\-\omega^2A\cos\left(\omega t + \varphi\right) + \omega^2A\cos\left(\omega t + \varphi\right) = 0\end{gathered}$}[/tex]
Como era esperado, agora temos que determinar as constantes φ e A, como dito no enunciado temos que x(0) = x₀, então
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x(t) = A\cos\left(\omega t + \varphi\right)\\ \\x\left(0\right) = A\cos\left(\varphi\right) = x_0\end{gathered}$}[/tex]
Sabemos também que a velocidade no tempo 0 é igual a 0, logo
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\dot{x}(t) = -\omega A\sin\left(\omega t + \varphi\right)\\ \\\dot{x}(t) = -\omega A\sin\left(\varphi\right) = 0\\ \\\end{gathered}$}[/tex]
Como ω e A são sempre diferentes de zero, isso implica que φ = 0 ou φ = π, vamos utilizar apenas a primeira solução, pois x₀ não pode ser negativo, logo
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\varphi = 0\\\Downarrow \\A\cos\left(\varphi\right) = x_0 \Rightarrow A = x_0\end{gathered}$}[/tex]
Logo a equação da posição do bloco é
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x(t) = x_0\cos\left(\omega t\right)\end{gathered}$}[/tex]
Sua velocidade é
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}v(t) = \dot{x}(t) =- x_0 \, \omega \sin\left(\omega t \right)\end{gathered}$}[/tex]
e sua aceleração
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}a(t) = \ddot{x}(t) = -x_0 \, \omega^2 \cos\left(\omega t\right)\end{gathered}$}[/tex]
Espero ter ajudado
Qualquer dúvida respondo nos comentários.
Veja mais sobre em:
Equações Diferenciais - brainly.com.br/tarefa/33618167
Sistema Massa/Mola - brainly.com.br/tarefa/22804780
