O número escrito no triângulo no 56º estágio é 5 ⋅ 2²⁷.
- Construa uma tabela com os valores literais de Δ e [tex]\square[/tex] em função do estágio E, em seguida determine uma lei de formação e use-a para determinar o valor para o 56º estágio.
- Considere que os números do primeiro estágio, 3 e 2 sejam a e b.
a = 3
b = 2
Observe que:
Δ: Soma dos números do estágio anterior.
[tex]\square[/tex]: Diferença ente o maior e o menor.¹
- ¹ Observe que Δ é sempre maior que [tex]\square[/tex] pois:
3 > 2
a > b
2a > 2b
(2a + 2b) > (2a − 2b)
[tex]\begin{tabular}{|c|c|c|}\cline{1-3} E& \Delta & \square\\\cline{1-3} 1 & a=3 & b=2\\2 & $a+b & $a-b \\3 & $ a+b+a-b=\bf 2a & $a+b-(a-b)=\bf 2b\\4 & $2a+2b & $2a-2b\\5 & $2a+2b+2a-2b= \bf 4a & $2a+2b-(2a-2b)= \bf 4b\\6 & $4a+4b & $4a-4b\\7 & $4a+4b+4a-4b=\bf 8a & $4a+4b-(4a-4b)= \bf 8b\\8 & $8a+8b & $8a-8b\\\cline{1-3}\end{tabular}[/tex]
- É pedido o resultado no triângulo do 56º estágio, que é um estágio par, descarte os estágios impares e observe que os resultados nos estágios pares são similares entre si.
[tex]\begin{tabular}{|c|c|c|}\cline{1-3} E& \Delta & \square\\\cline{1-3} 1 & a=3 & b=2\\2 & $a+b & $a-b \\4 & $2a+2b & $2a-2b\\6 & $4a+4b & $4a-4b\\8 & $8a+8b & $8a-8b\\\cline{1-3}\end{tabular}[/tex]
- Para simplificar fatore os resultados. Despreze a coluna [tex]\square[/tex], pois só é pedido o valor na coluna Δ.
[tex]\begin{tabular}{|c|c|}\cline{1-2} E& \Delta \\\cline{1-2} 1 & a=3 \\2 & $a+b \\4 & $2(a+b) \\6 & $4(a+b) \\8 & $8(a+b) \\\cline{1-2}\end{tabular}[/tex]
- Observe que os fatores 2, 4, 8, … podem ser escritos como uma potência base 2.
[tex]\begin{tabular}{|c|c|}\cline{1-2} E& \Delta \\\cline{1-2} 1 & a=3 \\2 & $2^0(a+b) \\4 & $2^1(a+b) \\6 & $2^2(a+b) \\8 & $2^3(a+b) \\ \vdots & \\E & \Large \text {$2^e(a+b)$} \\\cline{1-2}\end{tabular}[/tex]
- Determinar a lei de formação que relacione o valor do estágio (E) com o expoente (e) da base 2.
[tex]\large \text {$ \sf e=\dfrac{E}{2}-1 $}\\[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|c|c|}\cline{1-2} E& \Delta \\\cline{1-2} 1 & a=3 \\2 & $2^0(a+b) \\4 & $2^1(a+b) \\6 & $2^2(a+b) \\8 & $2^3(a+b) \\ \vdots & \\E & \Large \text {$2^{\left(\frac{E}{2}-1\right)}\cdot(a+b)$} \\\cline{1-2}\end{tabular}[/tex]
- Determine o valor de Δ para o estágio 56. Observe que a+b = 5.
[tex]\large \text {$ \sf \Delta = 2^{\left(\frac{E}{2} -1\right)} \cdot (a+b)$}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf \Delta = 2^{\left(\frac{56}{2} -1\right)} \cdot 5 $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf \Delta = 2^{(28-1)} \cdot 5 $}[/tex]
[tex]\large \text {$ \sf \Delta = 2^{27} \cdot 5 $}[/tex]
Δ = 5 ⋅ 2²⁷
Resposta: Alternativa A.
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