[tex]\texttt{Ol\'a! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}[/tex]
Admita a e b números reais positivos com a diferente de 1, entende-se por logaritmo de b na base a o expoente que se deve dar à base a de modo que a potência obtida seja igual a b.
Dessa definição, decorre que:
[tex]\huge {\underline{\boxed{\tt \log_{a} b = x\Leftrightarrow a^x = b}}}[/tex]
Sendo:
a → base do logaritmo;
b → logaritmando;
x → logaritmo.
Duas das propriedades dos logaritmos são as propriedades do quociente e do produto, essas iremos utilizar na resolução dessa atividade.
A propriedade do quociente diz que:
[tex] \huge{\underline{\boxed{\tt \log_{a} \frac{b}{c} = \log_{a}b - \log_{a}c}}}[/tex]
A propriedade do produto diz que:
[tex]\huge \underline{\boxed{ \tt \log_{a}(b \cdot c)= \log_{a}b + \log_{a}c}}[/tex]
Com tudo isso definido, vamos à resolução. Note que o problema deve ser desenvolvido em função de x, y e z, ou seja, partes literais. Observe que na questão não foi dada a base do logaritmo, essa omissão é uma convenção utilizada quando a base é 10.
[tex]\large \tt \log_{10} \frac{10}{3}\\[/tex]
Aplicando a propriedade, temos:
[tex]\large \tt \log_{10}10 - \log_{10}3[/tex]
Não vá na emoção resolver direto, lembre-se que queremos a resposta em função de x, y e z.
Na matemática podemos fazer qualquer coisa que vier na nossa mente, desde que as regras não sejam desrespeitadas. Dessa forma, perceba que posso reescrever o 10 como 5 • 2, ou seja agora posso utilizar os dados que foram fornecidos:
[tex]\large \tt \log_{10}(5 \cdot 2) - \log_{10}3[/tex]
Perceba que há um produto, então conforme a propriedade:
[tex]\large \tt \log_{10}5 +\log_{10}2 - \log_{10}3[/tex]
Perceba também que possuímos os valores dos logaritmos da nossa manipulação, eles foram dados na questão, logo, basta substituir:
[tex]\large \tt \stackrel{z}{ \widehat{\log_{10}5}} + \stackrel{x}{ \widehat{\log_{10}2}} - \stackrel{y}{ \widehat{\log_{10}3}}[/tex]
Por fim, temos como resposta da questão:
[tex]\huge\red{\underline{\boxed{\begin{array}{c}\forall\\\tt \log_{10}5=z;\\\tt\log_{10}3=y;\\\tt\log_{10}2=x\:\\\therefore\\\tt\log_{10}\frac{10}{3}=z+x-y\end{array}}}}[/tex]
