Olá, Nibastos.
Primeiramente, observemos o seguinte resultado:
[tex]\cos(180\º-\theta)=\cos180\º\cos\theta-\underbrace{\sin180\º}_{=0}\sin\theta=-\cos\theta \Rightarrow\\\\ \boxed{\cos\theta+\cos(180\º-\theta)=\cos\theta-\cos\theta=0}\text{ (i)}[/tex]
Guarde bem este resultado, pois vamos utilizá-lo daqui a pouco.
Agora, vamos reagrupar a soma do enunciado da seguinte forma:
[tex]p=\cos1\° + \cos 2\° + \cos 3\° + . . . + \cos 177\° + \cos 178\° + \cos 179\°=\\\\ =(\cos1\° + \cos 179\°) + (\cos 2\° + \cos 178\°) + (\cos 3\° + \cos 177\°) + \\\\ + ... + (\cos89\º+\cos91\º)+\cos90\º[/tex]
Vamos utilizar aqui, agora, o resultado que obtivemos em (i):
[tex]p=\underbrace{(\cos1\° + \cos 179\°)}_{=0} + \underbrace{(\cos 2\° + \cos 178\°)}_{=0} + \underbrace{(\cos 3\° + \cos 177\°)}_{=0} + \\\\ + ... + \underbrace{(\cos89\º+\cos91\º)}_{=0}+\cos90\º[/tex]
Sobra apenas, então:
[tex]p=\cos90\º \Rightarrow \boxed{p=0}[/tex]
