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Usando o método de integração por partes:

[tex]\int u. dv=u.v- \int v.du , determine \int x.cosx dx.[/tex]

Sagot :

 Dada a integral: [tex]\int x \cdot \cos x \, dx[/tex]

 

 Consideremos

 

[tex]f(x) = x[/tex] e [tex]g'(x) = \cos x[/tex],

 

onde

 

[tex]\int f(x) \cdot g'(x) \, dx = f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \, dx[/tex]

 

 Segue,

 

[tex]\begin{cases} f(x) = x \Rightarrow f'(x) = 1 \\ g'(x) = \cos x \Rightarrow g(x) = \sin x \end{cases} \\\\ \int f(x) \cdot g'(x) \, dx = f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \, dx \\\\ \int x \cdot \cos x \, dx = x \cdot \sin x - \int 1 \cdot \sin x \, dx \\\\ \int x \cdot \cos x \, dx = x \cdot \sin x - \int \sin x \, dx \\\\ \int x \cdot \cos x \, dx = x \cdot \sin x - \left [ - \cos x \right ] \\\\ \boxed{\int x \cdot \cos x \, dx = \boxed{\boxed{x \cdot \sin x + \cos x + C}}}[/tex]

 

 

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