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Sagot :
[tex]5(n - 3)! + 5(n - 1)! = 31(n - 2)! \\ 5(n - 3)! + 5(n - 1)(n - 2)(n - 3)! = 31(n - 2)(n - 3)! \;\;\;\; \div[(n - 3)! \\ 5 + 5(n - 1)(n - 2) = 31(n - 2) \\ 5[1 + (n - 1)(n - 2)] = 31(n - 2) \\ 5(1 + n^2 - 3n + 2) = 31n - 62 \\ 5n^2 - 15n - 31n + 15 + 62 = 0 \\ 5n^2 - 46n + 77 = 0 \\ \Delta = 2116 - 1540 \\ \Delta = 576 \\\\ x = \frac{46 \pm \sqrt{576}}{10} \begin{cases} x' = \frac{46 + 24}{10} \Rightarrow \boxed{\boxed{x' = 7}} \\ x'' = \frac{46 - 24}{10} \Rightarrow x'' = 2,2 \end{cases}[/tex]
Temos que:
[tex]5\cdot(\text{n}-3)!+5\cdot(\text{n}-1)!=31\cdot(\text{n}-2)![/tex]
Observe que:
[tex](\text{n}-2)!=(\text{n}-2)\cdot(\text{n}-3)![/tex]
[tex](\text{n}-1)!=(\text{n}-1)\cdot(\text{n}-2)\cdot(\text{n}-3)![/tex]
Desta maneira, podemos escrever:
[tex]5\cdot(\text{n}-3)!+5\cdot(\text{n}-1)\cdot(\text{n}-2)\cdot(\text{n}-3)!=31\cdot(\text{n}-2)\cdot(\text{n}-3)![/tex]
Dividindo ambos os membros por [tex](\text{n}-3)![/tex]:
[tex]5+5\cdot(\text{n}-1)\cdot(\text{n}-2)=31\cdot(\text{n}-2)[/tex]
[tex]5+5\text{n}^2-15\text{n}+10=31\text{n}-62[/tex]
[tex]5\text{n}^2-46\text{n}+77=0[/tex]
[tex]\text{n}=\dfrac{-(-46)\pm\sqrt{(-46)^2-4\cdot5\cdot77}}{2\cdot5}=\dfrac{46\pm24}{10}[/tex]
Logo, as raízes são:
[tex]\text{n}'=\dfrac{46+24}{10}=7[/tex]
[tex]\text{n}"=\dfrac{46-24}{10}=\dfrac{11}{5}[/tex]
Como [tex]\text{n}\in\mathbb{Z}^+[/tex], segue que [tex]\text{n}=7[/tex].
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