Olá, boa noite.
Devemos resolver a seguinte integral definida:
[tex]\displaystyle{\int_0^1(x+\sqrt{x^2})\cdot\sqrt{5+4x^2}\,dx[/tex]
Primeiro, está correto dizer que [tex]\sqrt{x^2}=|x|,~\forall{x}\in\mathbb{R}[/tex]. Mas veja que a integral está definida para o intervalo fechado [tex][0,~1][/tex], onde o comportamento da função [tex]|x|[/tex] é igual a [tex]x[/tex], isto é, pode-se fazer [tex]|x| =x[/tex] para efeito de cálculo neste caso.
Então, temos:
[tex]\displaystyle{\int_0^1(x+x)\cdot\sqrt{5+4x^2}\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^12x\cdot\sqrt{5+4x^2}\,dx[/tex]
Agora, fazemos uma mudança de variável por substituição: [tex]u=4x^2+5[/tex]. Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável [tex]x[/tex] para substituir o diferencial [tex]dx[/tex].
[tex]\dfrac{d}{dx}(u)=\dfrac{d}{dx}(4x^2+5)[/tex]
Para calcular esta derivada, lembre-se que:
- A derivada é um operador linear, logo vale que: [tex]\dfrac{d}{dx}(f(x)+g(x))=\dfrac{df}{dx}+\dfrac{dg}{dx}[/tex] e [tex]\dfrac{d}{dx}(c\cdot f(x))=c\cdot \dfrac{df}{dx}[/tex].
- A derivada de uma função [tex]u=u(x)[/tex] é dita implícita e calculada de acordo com a regra da cadeia: [tex]\dfrac{d}{dx}(u(x))=u'(x)\cdot \dfrac{du}{dx}[/tex].
- A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex]\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}[/tex].
- Consoante à regra acima, a derivada de uma constante é igual a zero.
Aplique a linearidade e a regra da cadeia
[tex](u)'\cdot \dfrac{du}{dx}=4\cdot \dfrac{d}{dx}(x^2)+\dfrac{d}{dx}(5)[/tex]
Aplique a regra da potência
[tex]1\cdot u^{1-1}\cdot \dfrac{du}{dx}=4\cdot 2\cdot x^{2-1}+0[/tex]
Some os valores nos expoentes e multiplique os termos
[tex]\dfrac{du}{dx}=8x[/tex]
Isolamos [tex]dx[/tex]
[tex]dx=\dfrac{du}{8x}[/tex]
Lembre-se que quando realizamos uma mudança de variáveis, devemos alterar também os limites de integração. Veja que quando [tex]x=0,~u\rightarrow 5[/tex] e quando [tex]x=1,~u\rightarrow 9[/tex]. Substituindo estes termos na integral, temos:
[tex]\displaystyle{\int_5^92x\cdot \sqrt{u}\cdot \dfrac{du}{8x}[/tex]
Multiplique os termos e simplifique a fração
[tex]\displaystyle{\int_5^9\dfrac{\sqrt{u}}{4}\,du}[/tex]
Para resolver esta integral, lembre-se que:
- A integral é um operador linear, logo vale que [tex]\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}[/tex].
- A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex]\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1[/tex].
- A integral definida de uma função [tex]f(x)[/tex], contínua e integrável em um intervalo fechado [tex][a,~b][/tex], é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: [tex]\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)[/tex].
Aplique a linearidade
[tex]\displaystyle{\dfrac{1}{4}\cdot \int_5^9\sqrt{u}\,du}[/tex]
Aplique a regra da potência, sabendo que [tex]\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}~\biggr|_5^9[/tex]
Some os valores no expoente e denominador e multiplique os termos
[tex]\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}~\biggr|_5^9\\\\\\ \dfrac{1}{\not{4}}\cdot \dfrac{\not{2}u^{\frac{3}{2}}}{3}~\biggr|_5^9\\\\\\ \dfrac{u^{\frac{3}{2}}}{6}~\biggr|_5^9[/tex]
Aplique os limites de integração
[tex]\dfrac{9^{\frac{3}{2}}}{6}-\left(\dfrac{5^{\frac{3}{2}}}{6}\right)[/tex]
Calcule as potências e some as frações
[tex]\dfrac{27}{6}-\dfrac{5\sqrt{5}}{6}\\\\\\ \dfrac{27-5\sqrt{5}}{6}~~\checkmark[/tex]
Este é o resultado desta integral.
