Resposta:
a) 4
Explicação passo-a-passo:
O enunciado nos dá duas informações: a soma dos dez termos de uma progressão aritmética (PA) e o primeiro termo da mesma PA.
Lembre-se que uma progressão aritmética é toda sequência formada por números que resultam da soma do número anterior com a razão.
Assim, a soma ([tex]S_{n}[/tex]) é 200 e o primeiro termo é 2.
A fórmula da soma é a seguinte:
[tex]S_{n} = \frac{n . (a_{1} + a_{n})}{2}[/tex]
Sendo que:
- [tex]S_{n}[/tex] é a soma de n termos da PA ([tex]S_{10} = 200[/tex]);
- [tex]n[/tex] é a posição do termo (10);
- [tex]a_{1}[/tex] é o primeiro termo da PA (2);
- [tex]a_{n}[/tex] é o enésimo termo da PA que iremos descobrir para prosseguir.
Assim:
[tex]S_{n} = \frac{n . (a_{1} + a_{n})}{2}[/tex]
I. Substituindo os termos:
[tex]S_{10} = \frac{10 . (2 + a_{n})}2}[/tex]
II. Substituindo novamente os termos e aplicando a propriedade distributiva:
[tex]200 = \frac{20 + 10a_{n}}{2}[/tex]
III. Realizando a divisão:
[tex]200 = 10 + 5a_{n}[/tex]
IV. Agrupando os termos semelhantes:
[tex]200 - 10 = 5a_{n}[/tex]
V. Agora, resolveremos a equação normalmente:
[tex]190 = 5a_{n}[/tex]
[tex]5a_{n} = 190[/tex]
[tex]a_{n} = \frac{190}{5}[/tex]
[tex]a_{n} = 38[/tex]
Assim, o valor da enésima posição é 38.
VI. Agora, o termo geral de uma PA:
[tex]a_{n} = a_{1} + (n - 1) . r[/tex]
Sendo que:
- [tex]n[/tex] é a posição do termo (10);
- [tex]a_{1}[/tex] é o primeiro termo da PA (2);
- [tex]a_{n}[/tex] é o enésimo termo da PA (38);
- [tex]r[/tex] é a razão que iremos descobrir.
VII. Substituindo os valores, temos:
[tex]a_{10} = a_{1} + (n - 1) . r[/tex]
Perceba que [tex]a_{n} = a_{10}[/tex]
[tex]38 = 2 + (10 - 1) . r[/tex]
VIII. Agora, calcularemos normalmente a equação:
[tex]38 = 2 + 9r[/tex]
[tex]38 - 2 = 9r[/tex]
[tex]36 = 9r\\9r = 36\\r = \frac{36}{9} \\r = 4[/tex]
Portanto, a razão da PA é 4.
Espero ter ajudado! Bons estudos!
