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Calcule as derivadas parciais das seguintes funções: a)f(x,y)=x^4 + xy^3/3
b)f(x,y)=2x^3e^5y

Calcule As Derivadas Parciais Das Seguintes Funções Afxyx4 Xy33 Bfxy2x3e5y class=

Sagot :

SubGui

Olá, bom dia.

Devemos calcular as derivadas parciais das seguintes funções:

a) [tex]f(x,~y)=x^4+\dfrac{xy^3}{3}[/tex]

b) [tex]f(x,~y)=2x^3e^{5y}[/tex]

Calcularemos as derivadas parciais de primeira ordem destas funções: [tex]f_x[/tex] e [tex]f_y[/tex].

Em a), temos:

[tex]f_x=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(x^4+\dfrac{xy^3}{3}\right)\\\\\\ f_y=\dfrac{\partial}{\partial y}\left(x^4+\dfrac{xy^3}{3}\right)[/tex]

Para calcular estas derivadas, lembre-se que:

  • A derivada é um operador linear, logo vale que [tex]\dfrac{\partial}{\partial x}(f(x)+g(x))=\dfrac{\partial}{\partial x}(f(x))+\dfrac{\partial}{\partial x}(g(x))[/tex] e [tex]\dfrac{\partial}{\partial x}(c\cdot f(x))=c\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(f(x))[/tex].
  • A derivada parcial de uma função de duas ou mais variáveis, em respeito a uma de suas variáveis é calculada considerando o restante delas como constantes.
  • A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex]\dfrac{\partial}{\partial x}(x^n)=n\cdot x^{n-1}[/tex].
  • Consoante com as regras acima, a derivada de uma constante é igual a zero.
  • A derivada de uma função composta é calculada de acordo com a regra da cadeia: [tex]\dfrac{\partial}{\partial x}(f(g(x)))=\dfrac{\partial}{\partial x}(g(x))\cdot f'(g(x))[/tex].
  • A derivada da função exponencial [tex]e^x[/tex] é a própria função exponencial.

Aplique a linearidade

[tex]f_x=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^4)+\dfrac{y^3}{3}\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(x)\\\\\\ f_y=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^4)+\dfrac{x}{3}\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(y^3)[/tex]

Aplique a regra da potência, sabendo que [tex]x=x^1[/tex]

[tex]f_x=4\cdot x^{4-1}+\dfrac{y^3}{3}\cdot1\cdot x^{1-1}\\\\\\ \boxed{f_x=4x^3+\dfrac{y^3}{3}}\\\\\\ f_y=0+x\cdot\dfrac{1}{3}\cdot 3\cdot y^{3-1}\\\\\\ \boxed{f_y=xy^2}[/tex]

Em b), temos:

[tex]f_x=\dfrac{\partial}{\partial x}(2x^3e^{5y})\\\\\\ f_y=\dfrac{\partial}{\partial y}(2x^3e^{5y})[/tex]

Aplique a linearidade

[tex]f_x=2e^{5y}\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(x^3)\\\\\\ f_y=2x^3\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(e^{5y})[/tex]

Aplique a regra da potência e da cadeia

[tex]f_x=2e^{5y}\cdot3\cdot x^{3-1}\\\\\\ f_y=2x^3\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(5y)\cdot e^{5y}\\\\\\ \Rightarrow f_y=2x^3\cdot5\cdot 1\cdot y^{1-1}\cdot e^{5y}[/tex]

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos

[tex]f_x=2e^{5y}\cdot3\cdot x^{2}\\\\\\ \boxed{f_x=6x^2e^{5y}}\\\\\\ f_y=2x^3\cdot5\cdot 1\cdot y^{0}\cdot e^{5y}\\\\\\ \boxed{f_x=10x^3e^{5y}}[/tex]

Estas são as derivadas parciais destas funções.

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