Para verificar se os pontos estão alinhados ou não, utilizamos os conceitos relacionados a matrizes. Devemos aplicar a regra de Sarrus utilizada na obtenção do discriminante de uma matriz quadrada de ordem 3x3.
Lembrando que os pontos somente estarão alinhados se o determinante da matriz quadrada calculado pela regra de Sarrus for igual a 0.
[tex]\swarrow \searrow[/tex]
Para que possamos calcular o determinante de uma matriz quadrada aplicando a regra de Sarrus, temos 4 passos a seguir. São elas:
① passo: repetir a 1º e a 2º coluna da matriz.
② passo: somar os produtos dos termos da diagonal principal.
③ passo: somar os produtos dos termos da diagonal secundária
④ passo: subtrair a soma total dos termos da diagonal principal dos termos da diagonal secundária.
Tendo isso em mente, iremos prosseguir a sua questão.
Verifique se os pontos A(-1,-2) B(1,2) C(3,6) estão alinhados.
[tex]\left|\begin{array}{ccc}A_{1}&A_{2}&1\\B_{1}&B_{2}&1\\C_{1}&C_{2}&1\end{array}\right| \Longleftrightarrow \left|\begin{array}{ccc}-1&-2&1\\1&2&1\\3&6&1\end{array}\right|[/tex]
[tex]\left|\begin{array}{ccc}-1&-2&1\\1&2&1\\3&6&1\end{array}\right| \Longleftrightarrow \left|\begin{array}{ccc}-1&-2&1\\1&2&1\\3&6&1\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}-1&-2\\1&2\\3&6\end{array}\right|[/tex]
[tex]\left|\begin{array}{ccc}\boxed{-1}&\boxed{-2}&\boxed{1}\\1&\boxed{2}&\boxed{1}\\3&6&\boxed{1}\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}-1&-2\\\boxed{1}&2\\\boxed{3}&\boxed{6}\end{array}\right| \rightarrow \sf DP= (-1)*2*1+(-2)*1*3+1*1*6[/tex]
[tex]\left|\begin{array}{ccc}-1&-2&\boxed{1}\\1&\boxed{2}&\boxed{1}\\\boxed{3}&\boxed{6}&\boxed{1}\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}\boxed{-1}&\boxed{-2}\\\boxed{1}&2\\3&6\end{array}\right| \rightarrow \sf DS= 3*2*1 + 6*1*(-1)+1*1*(-2)[/tex]
[tex]\sf (-1)*2*1+(-2)*1*3+1*1*6 - (3*2*1 + 6*1*(-1)+1*1*(-2) )[/tex]
[tex]\sf -2 + (-6) + 6 - 6 - (-6)-(-2)[/tex]
[tex]\sf = \underline{\boxed{\blue{\sf 0}}}[/tex]
Percebemos que o determinante deu como resultado 0, portanto os pontos A(-1,-2) B(1,2) C(3,6) estão alinhados.
Espero ter ajudado.
Bons estudos.
