Olá.
Podemos encontrar facilmente a lei de formação da parábola ou forma geral da função do segundo grau observando os pontos dados no gráfico e utilizando a forma fatorada da equação do segundo grau.
Forma geral da função do segundo grau: y = ax² +bx +c
→ x e y são coordenadas dos pontos na forma (x, y).
No gráfico temos indicados 3 pontos: (0, 0), (2, 4) e (4, 0).
Forma fatorada da função do segundo grau: y = a(x-x')(x-x")
→ x' e x" são as raízes da função.
Raízes da função são os valores de x onde o gráfico toca o eixo x.
No gráfico vemos que as raízes são 0 e 4.
Veja que a raiz 0 é o valor de x no ponto (x, y) = (0, 0) e a raiz 4 é o valor de x no ponto (x, y) = (4, 0).
Ok. Mãos à obra.
1º) Separamos as raízes e um outro ponto.
x' = 0
x" = 4
(x, y) = (2, 4)
2º) Aplicamos as raízes x' = 0 e x" = 4 e as coordenadas do ponto (x, y) = (2, 4) na forma fatorada da função.
y = a(x-x')(x-x")
4 = a(2-0)(2-4)
4 = a(2)(-2)
4 = -4a (multiplique ambos os membros por -1)
4a = -4
a = -4/4
a = -1
3º) Aplicamos o valor a encontrado (a = -1) e as raízes x' = 0 e x" = 4 na forma fatorada da função.
y = a(x-x')(x-x")
y = -1(x-0)(x-4)
y = -1(x)(x-4)
y = -1(x² -4x)
y = -x² +4x
Pronto. Encontramos a função do segundo grau que é a lei de formação do gráfico dado.
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Obs.: Como f(x) = y, podemos registrar a função de duas formas:
y = -x² +4x (forma mais usada para traçar gráficos, pois traz as coordenadas x e y dos pontos),
ou
f(x) = -x² +4x (forma mais usada para descrever a função, pois x é a variável que representa valores do domínio da função f e f(x) é a imagem de x através da função f).
Por exemplo, na função f(x) = -x² +4x o valor de x = 2 ao passar pela função se transforma em y = 4, formando o ponto (x, y) = (2, 4) que pertence à função e é mostrado no gráfico da função.
f(x) = -x² +4x
f(2) = -(2)² +4(2) = -4 +8 = 4 ⇒ (2, 4)
O valor 2 pertence ao conjunto domínio, e o valor 4 pertence ao conjunto imagem. Qual é a imagem de 2 na função f(x) = -x² +4x? A imagem de 2 na função é 4. Daí surge o ponto (2, 4).
Bons estudos para você.
