Olá.
Você compreende o que é uma potenciação? É uma operação que resume outra, a multiplicação.
Quando a multiplicação é feita com um número que sempre se repete, podemos resumir essa multiplicação toda em um só resultado. Essa operação é chamada de potenciação.
Veja:
3*3*3*3*3*3*3*3*3*3 = é o 3 multiplicado por ele mesmo 10 vezes. Colocamos o 3 como base e o 10 como expoente.
Com essa técnica podemos resumir isto tudo 3*3*3*3*3*3*3*3*3*3 apenas nisto: [tex]3^{10}[/tex]
Conseguimos registrar aquela conta enorme com a simplicidade de uma potenciação!
Observe bem o que acontece para entender a ideia:
...
59049 = 3*3*3*3*3*3*3*3*3*3 = [tex]3^{10}[/tex]
19683 = 3*3*3*3*3*3*3*3*3 = [tex]3^9[/tex]
6561 = 3*3*3*3*3*3*3*3 = [tex]3^8[/tex]
2187 = 3*3*3*3*3*3*3 = [tex]3^7[/tex]
729 = 3*3*3*3*3*3 = [tex]3^6[/tex]
243 = 3*3*3*3*3 = [tex]3^5[/tex]
81 = 3*3*3*3 = [tex]3^4[/tex]
27 = 3*3*3 = [tex]3^3[/tex]
9 = 3*3 = [tex]3^2[/tex]
3 = [tex]3^1[/tex]
1 = [tex]3^0[/tex] (todo número elevado a zero é igual a 1)
[tex]$\frac{1}{3}=3^{-1}[/tex] (três elevado a menos um é o inverso de três, e dá um terço)
[tex]$\frac{1}{9} =\frac{1}{3*3} =\frac{1}{3^2} =3^{-2}[/tex]
[tex]$\frac{1}{27} =\frac{1}{3*3*3} =\frac{1}{3^3} =3^{-3}[/tex]
[tex]$\frac{1}{81} =\frac{1}{3*3*3*3} =\frac{1}{3^4} =3^{-4}[/tex]
[tex]$\frac{1}{243} =\frac{1}{3*3*3*3*3} =\frac{1}{3^5} =3^{-5}[/tex]
[tex]$\frac{1}{729} =\frac{1}{3*3*3*3*3*3} =\frac{1}{3^6} =3^{-6}[/tex]
[tex]$\frac{1}{2187} =\frac{1}{3*3*3*3*3*3*3} =\frac{1}{3^7} =3^{-7}[/tex]
[tex]$\frac{1}{6561} =\frac{1}{3*3*3*3*3*3*3*3} =\frac{1}{3^8} =3^{-8}[/tex]
[tex]$\frac{1}{19683} =\frac{1}{3*3*3*3*3*3*3*3*3} =\frac{1}{3^9} =3^{-9}[/tex]
[tex]$\frac{1}{59049} =\frac{1}{3*3*3*3*3*3*3*3*3*3} =\frac{1}{3^{10}} =3^{-10}[/tex]
...
Pegou a ideia?
Quando os números são naturais o expoente é positivo.
Quando os números são racionais (fracionários) o expoente é negativo.
E porque o expoente negativo faz o número natural virar racional?
Porque ele inverte o número, ou em outras palavras, dá o inverso do número. O inverso de um número acontece quando 1 é o numerador da fração e o próprio número é o denominador dessa fração.
O inverso de 9 é [tex]$\frac{1}{9}[/tex]
O inverso de 81 é [tex]$\frac{1}{81}[/tex]
E porque o expoente da potenciação fica negativo quando é fração?
Porque ao fazer o inverso do número estamos fazendo a potenciação no denominador da fração de numerador 1. Quando a potenciação passa lá para baixo, o expoente se torna negativo. Veja o que acontece, no passo a passo:
[tex]81 = 3*3*3*3=3^4[/tex]
[tex]$\frac{1}{81} =\frac{1}{3*3*3*3} =\frac{1}{3^4}=(3^4)^{-1}=3^{-4}[/tex]
De novo:
[tex]9 = 3*3=3^2[/tex]
[tex]$\frac{1}{9} =\frac{1}{3*3} =\frac{1}{3^2}=(3^2)^{-1}=3^{-2}[/tex]
Ok. É isso o que acontece. Explicamos o truque de mágica.
Entendendo como se faz você mesma pode se tornar o mágico da matemática. Matemágico!
