Vamos começar montando as equações que "traduzem" o que é posto no enunciado para uma PG de 3 termos {a₁ , a₂ , a₃}.
--> "3 números em P.G.cujo produto seja 27 ":
[tex]\boxed{\sf a_1\cdot a_2\cdot a_3~=~27}[/tex]
--> "...e a soma dos dois últimos termos é 15 ":
[tex]\boxed{\sf a_2+a_3~=~15}[/tex]
Temos 2 equações e 3 incógnitas, precisamos então de mais informações para podermos determinar o valor destes 3 termos.
Dentre outras possibilidades, podemos utilizar a relação do termo geral da PG para reescrever as a₂ e a₃ em função de a₁ e de q (razão).
[tex]\sf Termo~ Geral~ da~ PG:~~\boxed{\sf a_n~=~a_m\cdot q^{n-m}}[/tex]
[tex]\sf a_2:~~a_2~=~a_1\cdot q^{2-1}~~\Longrightarrow~~\boxed{\sf a_2~=~a_1\cdot q}\\\\a_3:~~a_3~=~a_1\cdot q^{3-1}~~\Longrightarrow~~\boxed{\sf a_3~=~a_1\cdot q^2}[/tex]
Substituindo na 1ª equação, temos:
[tex]\sf a_1~\cdot ~a_1\cdot q~\cdot~a_1\cdot q^2~=~27\\\\a_1\cdot a_1\cdot a_1~\cdot ~q\cdot q^2~=~27\\\\a_1^{3}\cdot q^3~=~27\\\\(a_1\cdot q)^3~=~27\\\\a_1\cdot q~=~\sqrt[3]{27}\\\\\boxed{\sf a_1\cdot q~=~3}[/tex]
Note que o resultado acima é equivalente a dizer que a₂=3 e essa constatação já nos permitiria selecionar a alternativa correta, mas vamos continuar e calcular os termos restantes.
Substituindo a₂ e a₃ na 2ª equação do enunciado por suas expressões dadas em função de a₁ e de q:
[tex]\sf a_1\cdot q~+~a_1\cdot q^2~=~15\\\\\boxed{\sf a_1\cdot q~+~(a_1\cdot q)\cdot q~=~15}[/tex]
Substituindo nesta função o valor de a₁.q (a₂) calculado anteriormente:
[tex]\sf 3~+~(3)\cdot q~=~15\\\\3q~=~15-3\\\\q~=~\dfrac{12}{3}\\\\\boxed{\sf q~=~4}[/tex]
[tex]\sf Como~temos~a_1\cdot q=3,~ent\tilde{a}o:\\\\a_1\cdot 4~=~3\\\\\boxed{\sf a_1~=~\dfrac{3}{4}}\\\\\\Por~fim, a_3~fica:\\\\a_3~=~a_1\cdot q^2\\\\a_3~=~\dfrac{3}{4}\cdot 4^2\\\\a_3~=~3\cdot 4\\\\\boxed{\sf a_3~=~12}[/tex]
Resposta: Alternativa A
[tex]\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio[/tex]
