Olá, bom dia.
Devemos encontrar a área da região limitada pelas curvas [tex]y=13-2x[/tex] e [tex]y=16-x^2[/tex].
Primeiro, lembre-se que a área da região [tex]R[/tex] delimitada por duas curvas [tex]y=f(x)[/tex] e [tex]y=g(x)[/tex], contínuas e integráveis em um intervalo fechado [tex][a,~b][/tex], onde [tex]f(x)>g(x)[/tex] é calculado pela integral: [tex]\displaystyle{\iint_R\,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}[/tex].
Então, devemos determinar o comportamento destas funções, calculando o intervalo em que a região está compreendida, fazendo:
Iguale as funções, de modo a calcular os pontos de interseção das curvas:
[tex]16-x^2=13-2x[/tex]
Subtraia [tex]13-2x[/tex] em ambos os lados da igualdade e some os termos semelhantes
[tex]-x^2+2x+3=0[/tex]
Resolvendo esta equação quadrática, facilmente encontramos suas soluções:
[tex]x=-1~~\bold{ou}~~x=3[/tex]
Dessa forma, o intervalo em que esta região está comprometida é [tex][-1,~3][/tex].
Veja na imagem em anexo que, neste intervalo, a parábola que representa a função [tex]y=16-x^2[/tex] tem imagem maior que a reta que representa a função[tex]y=13-2x[/tex].
Sendo assim, substituímos estes dados na integral:
[tex]\displaystyle{\int_{-1}^3 16-x^2-(13-2x)\,dx}[/tex]
Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos semelhantes
[tex]\displaystyle{\int_{-1}^316-x^2-13+2x\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_{-1}^3-x^2+2x+3\,dx}[/tex]
Para resolver esta integral, lembre-se:
- A integral é um operador linear, logo vale que [tex]\displaystyle{\int f(x)+g(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}[/tex] e [tex]\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}[/tex], em que [tex]c[/tex] é uma constante.
- A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex]\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1[/tex].
- A integral definida de uma função [tex]f(x)[/tex], contínua e integrável em um intervalo fechado [tex][a,~b][/tex], é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: [tex]\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)[/tex].
Aplique a linearidade
[tex]\displaystyle{-\int_{-1}^3 x^2\,dx+2\cdot\int_{-1}^3x\,dx+3\cdot\int_{-1}^31\,dx}[/tex]
Aplique a regra da potência, lembrando que [tex]x=x^1[/tex] e [tex]1=x^0[/tex]
[tex]-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+2\cdot \dfrac{x^{1+1}}{1+1}+3\cdot \dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_{-1}^3[/tex]
Some os valores nos expoentes e denominadores
[tex]-\dfrac{x^3}{3}+x^2+3x~\biggr|_{-1}^3[/tex]
Aplique os limites de integração
[tex]-\dfrac{3^3}{3}+3^2+3\cdot3-\left(-\dfrac{(-1)^3}{3}+(-1)^2+3\cdot(-1)\right)[/tex]
Calcule as potências, multiplique e some os valores
[tex]-9+9+9-\left(\dfrac{1}{3}+1-3\right)\\\\\\ -9+9+9-\dfrac{1}{3}-1+3\\\\\\ \dfrac{32}{3}~\bold{u.~a}~~\checkmark[/tex]
Esta é a área da região compreendida entre estas curvas.
