Olá, bom dia.
Devemos resolver a seguinte integral indefinida:
[tex]\displaystyle{\int\left(\dfrac{2x^4-4x^3+2x^2}{x^2}\right)\,dx}[/tex]
Simplifique a fração por um fator [tex]x^2,~x\neq0[/tex]
[tex]\displaystyle{\int2x^2-4x+2\,dx}[/tex]
Para resolver esta integral, lembre-se que:
- A integral é um operador linear, logo vale que: [tex]\displaystyle{\int f(x)+g(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}[/tex] e [tex]\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}[/tex].
- A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex]\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1}[/tex].
Aplique a linearidade
[tex]\displaystyle{2\cdot\int x^2\,dx-4\cdot\int x\,dx+2\cdot\int1\,dx}[/tex]
Aplique a regra da potência, lembrando que [tex]x=x^1[/tex] e [tex]1=x^0[/tex]
[tex]2\cdot\dfrac{x^{2+1}}{2+1}-4\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+2\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}+C[/tex]
Some os valores nos expoentes e denominadores e multiplique os termos
[tex]\dfrac{2x^3}{3}-2x^2+2x+C,~C\in\mathbb{R}[/tex]
Este é o resultado desta integral.
