Primeiro tenho de dar os créditos ao pessoal do forumeiros, eles me deram a luz para entender essa questão.
É um problema de função composta. Contudo, a função composta resultante vai depender da paridade de n.
Vamos primeiro investigar a primeira função, imagine que n seja ímpar:
[tex]f(n) = n + 3 \text{, n impar}[/tex]
Mas se n é ímpar, a soma de um ímpar com outro ímpar só pode resultar em um número par. Por exemplo: 1 + 3 = 4 (par), 3 + 3 = 6 (par), 5 + 3 = 8 (par).
Assim sendo, a primeira composta, [tex]f(f(n))[/tex] vai ser:
[tex]f(f(n)) = \dfrac{f(n)}{2} = \dfrac{n+3}{2}[/tex]
Mas agora, como n é ímpar, e n + 3 é par, temos que o resultado dessa função pode ser par ou ímpar:
a) Se n = 1, 5, 9, 13,..., então [tex]\dfrac{n+3}{2}[/tex] é par.
b) Se n = 3, 7, 11, ..., então [tex]\dfrac{n+3}{2}[/tex] é ímpar.
Assim sendo, no primeiro caso (resultado par), usaremos a função de baixo:
a) [tex]f(f(f(n))) = \dfrac{f(f(n))}{2} = \dfrac{\dfrac{n+3}{2}}{2} = \dfrac{n+3}{4}[/tex]
[tex] f(f(f(n))) = n[/tex]
[tex] \dfrac{n+3}{4} = n[/tex]
[tex]n + 3 = 4 \cdot n[/tex]
[tex]4 \cdot n - n = 3 [/tex]
[tex]3 \cdot n = 3 [/tex]
[tex] n = \dfrac{3}{3}[/tex]
[tex]\boxed{n_1 = 1}[/tex]
No segundo caso (resultado ímpar), usaremos a função de cima:
b)[tex]f(f(f(n))) = f(f(n)) + 3 = \dfrac{n+3}{2} + 3[/tex]
[tex] f(f(f(n))) = n[/tex]
[tex]\dfrac{n+3}{2} + 3 = n[/tex]
[tex]\dfrac{n+3}{2} = n - 3 [/tex]
[tex]n + 3 = 2 \cdot (n - 3)[/tex]
[tex]n + 3 = 2 \cdot n - 6[/tex]
[tex]2 \cdot n - n = 6 + 3[/tex]
[tex]\boxed{n_2 = 9}[/tex]
Ok, mas note que 9 é um número pertencente ao caso a) e não ao caso b). Então as chances disso ocorrer são nulas, e essa solução é descartada!
Ok, ok, mas isso foi apenas considerando que o n inicialmente era ímpar. Mas e agora, se for par? Nesse caso, usaremos a função de baixo:
[tex]f(n) = \dfrac{n}{2}\text{, n par}[/tex]
Mas assim:
c) se n = 2, 6, 10, 14, 18..., o resultado disso será ímpar.
d) Caso n = 0, 4, 8, 12, 16, o resultado será par.
Então, para c):
[tex]f(f(n)) = \dfrac{n}{2} + 3[/tex]
E como o resultado de [tex]\dfrac{n}{2}[/tex] é ímpar, a soma de dois números ímpares é par. Por conseguinte:
[tex]f(f(f(n))) = \dfrac{\dfrac{n}{2} + 3}{2}[/tex]
Assim sendo:
[tex]f(f(f(n))) = n[/tex]
[tex]\dfrac{\dfrac{n}{2} + 3}{2} = n[/tex]
[tex]\dfrac{n}{2} + 3 = 2 \cdot n[/tex]
[tex]2 \cdot n - \dfrac{n}{2} = 3 [/tex]
[tex]\dfrac{3 \cdot n}{2} = 3[/tex]
[tex]\boxed{n_3 = 2}[/tex]
Finalmente, para o caso d):
[tex]f(f(n)) = \dfrac{\dfrac{n}{2}}{2} = \dfrac{n}{4}[/tex]
E como nessa condição, n = 4, 8, 12, 16, 20..., o resultado pode ser tanto par quanto ímpar:
I) Se n = 4, 12, 20..., o resultado é ímpar, e:
[tex]f(f(f(n))) = \dfrac{n}{4} + 3[/tex]
[tex]f(f(f(n))) = n[/tex]
[tex]\dfrac{n}{4} + 3 = n[/tex]
[tex]n - \dfrac{n}{4} = 3[/tex]
[tex]\dfrac{3 \cdot n}{4} = 3[/tex]
[tex]\boxed{n_4 = 4}[/tex]
II) Se n = 8, 16, 24,... o resultado é par, e:
[tex]f(f(f(n))) = \dfrac{\dfrac{n}{4}}{2} = \dfrac{n}{8}[/tex]
[tex]f(f(f(n))) = n[/tex]
[tex]\dfrac{n}{8} = n[/tex]
Isso só suporta uma única solução:
[tex]\boxed{n_5 = 0}[/tex]
Então no final chegamos a 5 soluções, mas [tex]n_2[/tex] foi descartada. Logo, apenas 4 soluções são válidas!
Alternativa B
