Resposta:
espero ajudar.
Explicação passo-a-passo:
Para reescrever as potências a seguir, precisamos lembrar de umas das propriedades da potenciação:
Potências com expoente racional
Quando uma potência apresenta o expoente fracionário, a base se transformará em uma raiz, onde o índice será o denominador da fração e o expoente do radicando será o numerador.
Exemplos:
a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}a
n
m
=
n
a
m
2^{\frac{3}{2}} = \sqrt[2]{2^3} = 2\sqrt{2}2
2
3
=
2
2
3
=2
2
Potência de potência
Quando temos esse caso, onde há dois expoentes separados por um parênteses, devemos apenas multiplicar os expoentes:
(a^m)^n = a^{m\cdot n}(a
m
)
n
=a
m⋅n
(2^2)^3 = 2^{2\cdot 3} = 2^6 = 64(2
2
)
3
=2
2⋅3
=2
6
=64
Multiplicação de potências de mesma base
Quando temos duas potências de mesma base multiplicadas, conservamos a base e somamos os expoentes.
Exemplos:
a^m\cdot a^n = a^{m+n}a
m
⋅a
n
=a
m+n
2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5 = 322
2
⋅2
3
=2
2+3
=2
5
=32
Vamos resolver os itens:
a) 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt{3}3
2
1
=
2
3
1
=
3
O 2 do denominador passou para o índice da raiz, e como ela é uma raiz quadrada, não precisamos escrevê-lo.
b) 4^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4^2} = \sqrt[3]{(2^2)^2} = \sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{2^3\cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}4
3
2
=
3
4
2
=
3
(2
2
)
2
=
3
2
4
=
3
2
3
⋅2
=2
3
2
Uma dica para simplificar as raízes é fatorar o radicando. Se houver algum número primo cujo expoente seja o índice da raiz, você pode retirá-lo. Nesse caso, o 2³ saiu da raiz de índice 3.
c)
\begin{gathered}234^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{234^3} = \sqrt[4]{(2\cdot 3^2\cdot 13)^3} = \\\\\sqrt[4]{2^3\cdot 3^6\cdot 13^3} = \sqrt[4]{2^3\cdot 3^4\cdot 3^2\cdot 13^3} = 3\sqrt[4]{2^3\cdot 3^2\cdot 13^3}\end{gathered}
234
4
3
=
4
234
3
=
4
(2⋅3
2
⋅13)
3
=
4
2
3
⋅3
6
⋅13
3
=
4
2
3
⋅3
4
⋅3
2
⋅13
3
=3
4
2
3
⋅3
2
⋅13
3
Você também pode representar esse resultado como 3\sqrt[4]{158184}3
4
158184
d)
\begin{gathered}32^{\frac{5}{7}} = \sqrt[7]{32^5} = \sqrt[7]{(2^5)^5} = \sqrt[7]{2^{25}} =\\\\ \sqrt[7]{2^7\cdot 2^7\cdot 2^7\cdot 2^4} = 2^3\sqrt[7]{2^4} = 8\sqrt[7]{16}\end{gathered}
32
7
5
=
7
32
5
=
7
(2
5
)
5
=
7
2
25
=
7
2
7
⋅2
7
⋅2
7
⋅2
4
=2
3
7
2
4
=8
7
16
e) 175^{\frac{3}{8}} = \sqrt[8]{175^3} = \sqrt[8]{(5^2\cdot 7)^3} = \sqrt[8]{5^6\cdot 7^3} = \sqrt[8]{175^3}175
8
3
=
8
175
3
=
8
(5
2
⋅7)
3
=
8
5
6
⋅7
3
=
8
175
3
Como você pode observar, não foi possível simplificar a raiz ao fatorar o radicando, pois não havia um número primo que fosse elevado a 8.
