A aceleração adquirida por um corpo posto a deslizar no plano inclinado descrito é igual a 2,4 m/s².
Este é um problema de aplicação das leis de Newton em plano inclinado. Devemos então relembrar a equação da segunda lei.
[tex]\large\text{$ \boxed{ F_R = m \cdot a} $ (I) }[/tex]
- [tex]\large\text{$F_R $}[/tex] ⇒ Valor da força resultante em um objeto.
- [tex]\large\text{$m $}[/tex] ⇒ Massa do objeto.
- [tex]\large\text{$a $}[/tex] ⇒ Valor da aceleração do objeto.
Para aplicar a equação (I) e encontrar a aceleração solicitada, devemos primeiramente encontrar a força resultante que atua no corpo colocado no plano inclinado. Para tal, representamos, em vermelho, na figura (anexo) as forças que atuam no corpo: Peso (substituída pelas componentes em verde) , Normal e força de atrito.
Uma forma das formas de se obter o valor da força resultante é escolher um sistema de coordenadas com um eixo paralelo ao plano (eixo x) e outro perpendicular ao plano (eixo y) e trabalhar com as componentes das forças nessas direções. Essa escolha é interessante porque, uma vez que não pode haver movimento na direção perpendicular ao plano, a componente da resultante nessa direção é nula. A força resultante será na direção paralela ao plano (eixo x).
⇒ Cálculo da força Normal.
Para se calcular a força de atrito, precisamos conhecer a Normal. Trabalhamos então com as forças em y. Lembrando-se que nessa direção a resultante é zero:
[tex]\large\text{$N - P_y = 0 \Longrightarrow \boxed{N = P_y}$ \ (II)}[/tex]
⇒ Cálculo da força de atrito.
A força de atrito pode ser obtida através da equação:
[tex]\large\text{$\boxed{ f_a = \mu \cdot N}$ \ (III)}[/tex]
Substituindo a força normal N da equação II,
[tex]\large\text{$\boxed{ f_a = \mu \cdot P_y}$ \ (IV)}[/tex]
⇒ Cálculo da força resultante e da aceleração.
Observando as forças na direção x, podemos escrever:
[tex]\large\text{$F_R = P_x - f_a $}[/tex]
Usando a equação (I) para a força resultante e a equação (IV) para a força de atrito,
[tex]\large\text{$ m \cdot a = P_x - \mu \cdot P_y $}[/tex]
As componentes x e y do peso (em verde na figura) podem ser escritas em função de P e do ângulo θ (ver figura).
[tex]\large\text{$ m \cdot a = P \cdot \sin \theta - \mu \cdot P \cdot \cos \theta $}[/tex]
Escrevendo o peso como o produto da massa pela aceleração gravitacional,
[tex]\large\text{$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin \theta - \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos \theta $}[/tex]
Dividindo toda a expressão por m,
[tex]\large\text{$a = g \cdot \sin \theta - \mu \cdot g \cdot \cos \theta $}[/tex]
[tex]\large\text{$\boxed{ a = g \cdot (\sin \theta - \mu \cdot \cos \theta)} $ (V)}[/tex]
Observe que a equação (V) pode ser usada em qualquer problema do mesmo tipo. Observe também que a aceleração do objeto, nessa situação, não depende da massa.
Tomando os valores dados no enunciado:
[tex]\large\text{$ a = g \cdot (\sin \theta - \mu \cdot \cos \theta) = 10 \cdot (\sin 30^\circ - 0{,}3 \cdot \cos 30^\circ) $}[/tex]
[tex]\large\text{$ a = 10 \cdot (0{,}5 - 0{,}3 \cdot 0{,}866) = 10 \cdot (0{,}5 - 0{,}26) = 10 \cdot 0{,}24 $}[/tex]
[tex]\boxed{\boxed{\large\text{$ a = 2{,}4 {\sf \: m/s^2}$}}}[/tex]
Podemos concluir que a aceleração adquirida por um corpo posto a deslizar nesse plano é igual a 2,4 m/s².
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