Resposta:
2ª opção
Explicação:
Por ter 2 incógnitas, precisamos de 2 equações.
Note que a figura toda é um triângulo-retângulo. Como (2+x) é oposto ao ângulo reto, essa é a hipotenusa. Então
[tex] {(x + 2)}^{2} = {3}^{2} + {y}^{2} [/tex]
Desenvolvendo o produto notável:
[tex] {x}^{2} + 2x \times 2 + {2}^{2} = {x}^{2} + 4x + 4[/tex]
Então
[tex] {x}^{2} + 4x + 4 = {3}^{2} + {y}^{2} [/tex]
1ª equação
[tex] {x}^{2} + 4x - {y}^{2} = 9 - 4 = 5[/tex]
Agora para a 2ª equação, note que o 3 e o 2 formam um triângulo-retângulo cuja altura (h) é igual ao do triângulo-retângulo x com Y. Então
[tex] {3}^{2} = {h}^{2} + {2}^{2} [/tex]
[tex] {h}^{2} = 9 - 4 = 5[/tex]
Como a altura é a mesma do triângulo XY, então:
[tex] {y}^{2} = {x}^{2} + {h}^{2} [/tex]
[tex] {y}^{2} = {x}^{2} + 5[/tex]
Substituindo na 1ª equação
[tex] {x}^{2} + 4x - {y}^{2} = 5[/tex]
[tex] {x}^{2} + 4x - ( {x}^{2} + 5) = 5[/tex]
[tex] {x}^{2} + 4x - {x}^{2} - 5 = 5[/tex]
[tex]4x = 5 + 5 = 10[/tex]
[tex]x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} [/tex]
Como
[tex] {y}^{2} = {x}^{2} + 5[/tex]
[tex] {y}^{2} = {( \frac{5}{2} )}^{2} + 5[/tex]
[tex] {y}^{2} = \frac{25}{4} + 5[/tex]
[tex] {y}^{2} = \frac{25}{4} + \frac{20}{4} = \frac{45}{4} [/tex]
[tex]y = \sqrt{( \frac{45}{4} )} = \frac{ \sqrt{45} }{ \sqrt{4} } [/tex]
[tex] \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{ {3}^{2} \times 5} = 3 \sqrt{5} [/tex]
[tex]y = \frac{3 \sqrt{5} }{2} [/tex]
