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Sagot :
Se é divisível por [tex]2x + 1[/tex], então o resto é zero; daí fazemos:
[tex]2x + 1 = 0 \\ 2x = - 1 \\ x = \frac{- 1}{2}[/tex]
E, temos que [tex]Q\left ( \frac{- 1}{2} \right ) = 0[/tex]
Portanto,
[tex]Q(x) = 2x^3 + mx^2 + nx - 2 \\\\ Q\left ( \frac{- 1}{2} \right ) = 2 \times \left ( \frac{- 1}{2} \right )^3 + m \times \left ( \frac{- 1}{2} \right )^2 + n \times \left ( \frac{- 1}{2} \right ) - 2 \\\\ 0 = 2 \times \frac{- 1}{8} + m \times \frac{1}{4} + n \times \frac{- 1}{2} - 2 \\\\ - \frac{1}{4} + \frac{m}{4} - \frac{n}{2} - 2 = 0 \\\\ - 1 + m - 2n - 8 = 0 \\ \boxed{m - 2n = 9}[/tex]
Raciocínio análogo para o outro divisor!
Se é divisível por [tex]x + 2[/tex], então o resto é zero; daí fazemos:
[tex]x + 2 = 0 \\ x = - 2[/tex]
E, temos que [tex]Q(- 2) = 0[/tex]
Portanto,
[tex]Q(x) = 2x^3 + mx^2 + nx - 2 \\ Q\left ( - 2 \right ) = 2 \times \left ( - 2 \right )^3 + m \times \left ( - 2 \right )^2 + n \times \left ( - 2 \right ) - 2 \\ 0 = 2 \times (- 8) + m \times 4 + n \times (- 2) - 2 \\ - 16 + 4m - 2n - 2 = 0 \\ \boxed{4m - 2n = 18}[/tex]
Resolvendo esse sistema de duas equações...
[tex]\begin{cases} m - 2n = 9 \;\; \times (- 1 \\ 4m - 2n = 18 \end{cases} \\\\ \begin{cases} - m + 2n = - 9 \\ 4m - 2n = 18 \end{cases} \\ -------- \\ 4m - m - 2n + 2n = 18 - 9 \\ 3m = 9 \\ \boxed{m = 3}[/tex]
Para calcular o valor de 'n' substituímos m por 3 em qualquer equação do sistema, segue:
[tex]m - 2n = 9 \\ 3 - 2n = 9 \\ - 2n = 6 \\ \boxed{n = - 3}[/tex]
Enfim,
[tex]m - n = \\ 3 - (- 3) = \\ 3 + 3 = \\ \boxed{\boxed{\boxed{m - n = 6}}}[/tex]
Alternativa d.
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