Olá, Felipe.
[tex]C(x) = 2x^2- 100x + 5000[/tex]
A curva de [tex]C(x)[/tex] no plano cartesiano é uma parábola com a concavidade voltada para cima, pois o termo que acompanha [tex]x^2[/tex] é positivo.
Como a parábola tem concavidade voltada para cima, concluímos que, no ponto onde a derivada da curva é zero, temos um mínimo. Por outro lado, se a concavidade fosse voltada para baixo, neste ponto onde a derivada é zero teríamos um máximo.
Vamos, portanto, derivar a função [tex]C(x),[/tex] e igualar sua derivada a zero para obter o ponto mínimo [tex]x^\star[/tex] da curva.
[tex]\frac{dC(x)}{dx}=4x-100=0 \Leftrightarrow 4x^{\star}=100 \Leftrightarrow \boxed{x^\star=25}[/tex]
Obtivemos o ponto onde o custo é mínimo. Vamos agora calcular o valor deste custo:
[tex]C(x^\star) = 2(x^\star)^2- 100x^{\star} + 5000=2\cdot{25}^2-100\cdot25+5000=\\\\ =1250-2500+5000=\boxed{R\$\ 3.750,00}[/tex]
