Sabemos que a soma de dois números x e y (incógnitos) é igual a 6, ou seja:
[tex]\mathsf{x+y=6\qquad (i)}[/tex]
Também nos foi informado que a soma do quadrado de x com o quadrado de y é 68, o que equivale, em linguagem matemática, a:
[tex]\mathsf{x^2+y^2=68\qquad(ii)}[/tex]
Baseado nas informações acima, o exercício deseja encontrar o valor de |x - y|, que é o módulo da diferença entre x e y. Para isso, deve-se primeiro partir de (i) e proceder da seguinte maneira:
[tex]\mathsf{\qquad\quad\ \ \: x+y=6}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x+y)^2=6^2}[/tex]
Lembrando que (x + y)² = x² + 2xy + y², temos:
[tex]\mathsf{\qquad\quad\: \ (x+y)^2=6^2}\\\\ \mathsf{\iff\quad x^2+2xy+y^2=36}\\\\ \mathsf{\iff\quad x^2+y^2+2xy=36}[/tex]
Agora, lembre-se também (de (ii)) que x² + y² = 68, logo:
[tex]\mathsf{\qquad\quad~\: \underbrace{\mathsf{x^2+y^2}\!\!}_{68}\ +\,2xy=36}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad 68+2xy=36}\\\\ \mathsf{\iff\quad 2xy=36-68}\\\\ \mathsf{\iff\quad 2xy=-32}[/tex]
Ou seja, descobrimos o valor de 2xy. Sabendo que 2xy = - 32, estamos aptos a calcular o valor de |x - y| (valor desejado), e para tal fim, vamos partir da equação (ii) e manipular algebricamente o seu primeiro membro, na tentativa de encontrar a expressão |x - y|. Portanto, ficaremos com:
[tex]\mathsf{x^2+y^2=68}[/tex]
Sabendo que x² + y² = (x - y)² + 2xy, obtém-se:
[tex]\mathsf{\qquad\quad \ \: \ x^2+y^2=68}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2+\!\underbrace{\mathsf{2xy}}_{-32}=68}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2-32=68}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2=68+32}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2=100}[/tex]
E por último, tendo em mente a propriedade √x² = |x| (x ∈ R), chega-se ao resultado final:
[tex]\mathsf{\qquad\quad~~\:\, \sqrt{\!(x-y)^2}=\sqrt{100}}\\\\ ~\ \mathsf{\iff\quad |x-y|=10}[/tex]
Ou seja, o valor de |x - y| = |y - x| é 10.
Resposta:
[tex]\ \large\boxed{\mathsf{|x-y|=10}}[/tex]
Obs.: as identidades algébricas (x + y)² = x² + 2xy + y² e x² + y² = (x - y)² + 2xy são válidas para todo x e y complexos.
