Answered

O Sistersinspirit.ca facilita a busca por soluções para todas as suas perguntas com a ajuda de uma comunidade ativa. Conecte-se com uma comunidade de especialistas prontos para ajudar você a encontrar soluções para suas perguntas de maneira rápida e precisa. Obtenha respostas detalhadas e precisas para suas perguntas de uma comunidade dedicada de especialistas em nossa plataforma de perguntas e respostas.

Encontrar a derivada de: f(x) = (3x^2-2x)/(x+2)

Sagot :

SubGui

Olá, boa noite.

Devemos calcular a derivada da seguinte função:

[tex]f(x)=\dfrac{3x^2-2x}{x+2}[/tex]

Diferenciando ambos os lados da igualdade, temos:

[tex]f'(x)=\left(\dfrac{3x^2-2x}{x+2}\right)'[/tex]

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

  • A derivada de uma função racional [tex]\dfrac{f(x)}{g(x)},~g(x)\neq0[/tex] é calculada pela regra do quociente: [tex]\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}[/tex].
  • A derivada é um operador linear, logo vale que [tex](f(x) + g(x))'=f'(x)+g'(x)[/tex] e [tex](c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)[/tex].
  • A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex](x^n)'=n\cdot x^{n-1}[/tex].
  • A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a regra do quociente

[tex]f'(x)=\dfrac{(3x^2-2x)'\cdot (x+2)-(3x^2-2x)\cdot (x+2)'}{(x+2)^2}[/tex]

Aplique a linearidade

[tex]f'(x)=\dfrac{[(3x^2)'+(-2x)']\cdot (x+2)-(3x^2-2x)\cdot [(x)'+(2)']}{(x+2)^2}\\\\\\f'(x)=\dfrac{[3\cdot(x^2)'-2\cdot(x)']\cdot (x+2)-(3x^2-2x)\cdot [(x)'+(2)']}{(x+2)^2}[/tex]

Aplique a regra da potência, sabendo que [tex]x=x^1[/tex]

[tex]f'(x)=\dfrac{[3\cdot2\cdot x^{2-1}-2\cdot1\cdot x^{1-1}]\cdot(x+2)-(3x^2-2x)\cdot[1\cdot x^{1-1}+0]}{(x+2)^2}[/tex]

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos. Lembre-se que [tex]x^0=1,~x\neq0[/tex].

[tex]f'(x)=\dfrac{[3\cdot2\cdot x^{1}-2\cdot1\cdot x^{0}]\cdot(x+2)-(3x^2-2x)\cdot[1\cdot x^{0}+0]}{(x+2)^2}\\\\\\ f'(x)=\dfrac{[3\cdot2\cdot x-2\cdot1\cdot 1]\cdot(x+2)-(3x^2-2x)\cdot1}{(x+2)^2}\\\\\\ f'(x)=\dfrac{[6x-2]\cdot(x+2)-3x^2+2x}{(x+2)^2}[/tex]

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos semelhantes

[tex]f'(x)=\dfrac{6x^2+12x-2x-4-3x^2+2x}{(x+2)^2}\\\\\\ f'(x)=\dfrac{3x^2+12x-4}{x^2+4x+4}~~\checkmark[/tex]

Esta é a derivada desta função.

Obrigado por sua visita. Estamos dedicados a ajudá-lo a encontrar as informações que precisa, sempre que precisar. Obrigado por usar nossa plataforma. Nosso objetivo é fornecer respostas precisas e atualizadas para todas as suas perguntas. Volte em breve. Obrigado por usar o Sistersinspirit.ca. Volte novamente para obter mais conhecimento dos nossos especialistas.