Temos a seguinte integral:
[tex] \int x \: \cdot \: \cos \left( \frac{x}{2} \right) \: dx \\ [/tex]
A própria questão nos diz que o método de resolução é a integração por partes. Agora a dúvida é qual função deve ser derivada e qual deve ser integrada, para isso, basta utilizar a regra LIATE, Funções logarítmicas, Funções Inversas trigonométricas, Funções Algébricas, Funções Trigonométricas e Funções Exponenciais. Quem está mais a esquerda da nomenclatura Liate, deve ser derivada e quanto mais a direta, deve ser integrada. No nosso caso y = x deve ser derivada e y = cos(x/2) integrada:
[tex]u = x \: \: e \: \: dv = \cos \left( \frac{x}{2} \right) \\ \frac{du}{dx} = 1 \: \: e \: \: v = \int \cos \left( \frac{x}{2} \right)dx \\ du = dx \: \: e \: \: v = \int \cos \left( \frac{x}{2} \right)dx[/tex]
Para resolver essa integral, vamos usar o método da substituição de variável:
[tex]v = \int \cos \left( \frac{x}{2} \right)dx \: \to \: \: u = \frac{x}{2} \\ \\ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2} \: \to \: \: 2du = dx \\ \\ \int \cos(u) \: . \: 2 du \: \to \: 2 \int \cos(u) \: du \\ \\ v = 2\sin \left( \frac{x}{2} \right)[/tex]
Agora vamos substituir essas informações na própria "fórmula" da integração por partes:
[tex] \int u.v = u.v - \int v. du \\ \int x. \cos \left( \frac{x}{2} \right)dx = x \: . \: 2 \sin \left( \frac{x}{2} \right) - \int 2 \sin \left( \frac{x}{2} \right) \: dx \\ \int x. \cos \left( \frac{x}{2} \right)dx = {2x \: . \sin \left( \frac{x}{2} \right) } - 2 \int \sin \left( \frac{x}{2} \right) \: dx[/tex]
Para resolver a integral interna vamos usar o mesmo método usado anteriormente:
[tex] \int \sin \left( \frac{x}{2} \right)dx \: \to \: \: u = \frac{x}{2} \\ \\ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2} \: \to \: \: 2du = dx \\ \\ \int \sin(u) \: . \: 2 du \: \to \: 2 \int \sin(u) \: du \\ \\ - 2\cos \left( \frac{x}{2} \right)[/tex]
Substituindo essa informação:
[tex]\int x. \cos \left( \frac{x}{2} \right)dx = 2x \: . \: \sin \left( \frac{x}{2} \right) - 2 \: . \: \left( - 2 \cos \left( \frac{x}{2} \right) \right) \\ \boxed{ \boxed{\int x. \cos \left( \frac{x}{2} \right)dx = 2x \: . \: \sin \left( \frac{x}{2} \right) + 4 \cos \left( \frac{x}{2} \right) + c}}[/tex]
Espero ter ajudado
