Olá, bom dia.
Devemos determinar a solução da seguinte inequação logarítmica:
[tex]\log_{\frac{1}{2}}(x)+\log_{\frac{1}{2}}(x-2)>-3[/tex]
Primeiro, devemos determinar o alcance dos logaritmandos de acordo com a condição de existência: este deve ser maior que zero.
Logo, temos o seguinte sistema de inequações lineares:
[tex]\begin{cases}x>0\\x-2>0\\\end{cases}[/tex]
Some [tex]2[/tex] em ambos os lados da segunda desigualdade
[tex]\begin{cases}x>0\\x>2\\\end{cases}[/tex]
Facilmente, a solução deste sistema de inequações é o intervalo definido por [tex]x>2[/tex].
Então, aplicamos a propriedade de logaritmos: [tex]\log_c(a\cdot b)=\log_c(a)+\log_c(b),~0<c\neq1,~a,~b>0[/tex]
[tex]\log_{\frac{1}{2}}(x\cdot(x-2))>-3[/tex]
Agora, aplicamos a propriedade: [tex]\log_c(a)>b\Rightarrow a<c^b\Leftrightarrow 0<c<1[/tex]. Observe que neste caso a base é o número [tex]\dfrac{1}{2}=0{,}5[/tex].
Assim, teremos:
[tex]x\cdot(x-2)<\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}[/tex]
Aplique a propriedade de potências: [tex]\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n,~\forall a,~b\neq0[/tex]
[tex]x\cdot(x-2)<2^3\\\\\\ x\cdot(x-2)<8[/tex]
Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e subtraia [tex]8[/tex] em ambos os lados da desigualdade
[tex]x^2-2x-8<0[/tex]
Devemos resolver esta inequação quadrática. Para isso, devemos observar o gráfico da função: veja na imagem em anexo que seu gráfico é uma parábola cuja concavidade está voltada para cima, logo sua imagem é negativa no intervalo compreendido entre suas raízes.
Logo, devemos determinar as raízes da equação. Igualamos o membro do lado esquerdo a zero e utilizamos a fórmula resolutiva: [tex]x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},~a\neq0[/tex].
[tex]x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-8)}}{2\cdot1}\\\\\\ x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+32}}{2}\\\\\\ x=\dfrac{2\pm\sqrt{36}}{2}\\\\\\ x=\dfrac{2\pm6}{2}\\\\\\\Rightarrow x=1\pm3[/tex]
Separe as soluções e some os valores
[tex]x=1-3~~\bold{ou}~~x=1+3\\\\\\\Rightarrow x=-2~~\bold{ou}~~x=4[/tex]
Com isso, [tex]x^2-2x-8<0[/tex] no intervalo definido por [tex]-2<x<4[/tex].
Porém, veja que de acordo com a condição de existência definida ao início da resolução, temos que [tex]x>2[/tex].
Dessa forma, a solução desta inequação logarítmica é a interseção destes intervalos. Seu conjunto solução é:
[tex]\boxed{\bold{S=\{x\in\mathbb{R}~|~2<x<4\}}}[/tex]
