Resposta:
Sumimasen= licença ou desculpa de forma mais leve (formal).
Gomennasai= perdão ou desculpa por algo mais "grave" (menos formal).
Explicação:
Sumimasen é usado de um jeito mais formal para pedir desculpas para algo que você tem o direito, também é usado para pedir desculpas por algo que foi sem querer (desde que este algo não seja grave) e também usado como "com licença".
Ex.1: você marcou um compromisso com alguém mas não pode mais ir porque sua mãe passou mal. Aí você usa o sumimasen porque nesse caso você tem o direito de desmarcar o compromisso por algo urgente.
Ex.2: Você esbarrou sem querer em um desconhecido na rua. Usa o sumimasen porque além de ser formal, também representa algo que você fez sem qurer (como se você tivesse o "direito" de esbarrar nessa pessoa porque foi inevitável).
Ex.3: Você está em uma loja de roupas e precisa perguntar ao vendedor se tem esta roupa em outros modelos. Nesse caso você usa sumimasen porque está pedindo licença ao vendedor ("licença, tem outros modelos desta roupa?").
Gomennasai é o jeito formal de pedir desculpas por algo que você não tinha direito de fazer, tipo uma forma de pedir perdão.
Ex.1: Você sem querer trocou os papéis da empresa e enviou os documentos errados para o seu chefe. Usa o gomennasai porque foi um erro de responsabilidade.
Ex.2: Seu filho bateu num colega de classe e você vai se desculpar com os pais deste colega, Usa gomennasai porque foi um erro "grave" que envolve violência.
Ex.3: Uma pessoa se declara pra você mas infelizmente você não sente o mesmo. Usa o gomennasai porque envolve sentimentos, perdão por algo abstrato.
EXCESSÕES:
1- Embora o sumimasen seja usado para licença ou desculpas mais leve, se for falar com seu chefe ou com alguém superior a você, use-o pois neste caso o gomennasai poderia soar meio infantil ou informal.
2- Mesmo o Gomennasai sendo um pedido de desculpas por coisas mais graves, é comum o uso dele entre crianças, jovens, amigos e familiares. Nesse caso ele pode significar gratidão também, de um jeito mais informal e possui variações informais como o gomenne – ocasional ou o gomen – mais casual.
Espero ter ajudado : )
