Para que os pontos A, B e C sejam colineares, x deve ser igual a 3.
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Dado os pontos A(– 3 , 5), B(1, 1) e C(x , – 1), para que sejam colineares, isto é, para que pertençam à mesma reta, o determinante D formado por suas coordenadas deve ser nulo, que é a condição de alinhamento de três pontos.
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Para construir esse determinante, faremos da seguinte forma:
[tex]\Large\quad\begin{array}{l}\sf D=\left|\begin{array}{ccc}\sf x_a&\sf y_a&1\\\sf x_b&\sf y_b&\sf1\\\sf x_c&\sf y_c&\sf1\end{array}\right|=0\end{array}\\\\[/tex]
Sendo assim, os dois primeiros elementos da:
e temos uma última coluna de números um para que a matriz seja quadrada.
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Dessa forma, temos:
[tex]\\\!\!\!\!\large\begin{array}{l}\implies~~~~\!\sf\left|\begin{array}{ccc}\sf x_a&\sf y_a&\sf1\\\sf x_b&\sf y_b&\sf1\\\sf x_c&\sf y_c&\sf1\end{array}\right|=0\\\\\sf\iff~~~\sf\left|\begin{array}{ccc}~\sf\!\!\!\!-3&~\sf5&~\sf1~~\\~~~\sf1&~\sf1&~\sf1~~\\~~~\sf x&~\sf\!\!\!\!-1~&\sf1~\end{array}\right|=0\end{array}[/tex]
E assim podemos usar a Regra de Sarrus, que consiste em repetir as duas primeiras colunas, fazer a soma do produto de uma diagonal (principal) e subtrair da soma do produto de outra diagonal (secundária):
[tex]\!\!\!\!\large\begin{array}{l}\implies~~~~\!\sf\left|\begin{array}{ccc}~\sf\!\!\!\!-3&~\sf5&~\sf1~~\\~~~\sf1&~\sf1&~\sf1~~\\~~~\sf x&~\sf\!\!\!\!-1~&\sf1~\end{array}\right|\begin{matrix}~~\sf\!\!\!\!-3&~\sf5\\~~~~\sf1&~\sf1\\~~~~\sf x&~\sf\!\!\!\!-1~\end{matrix}=0\\\\\sf\iff~~-3.1.1+5.1.x+1.1.(-1)-[1.1.x-3.1.(-1)+5.1.1]=0\\\\\sf\iff~~-3+5x-1-[x+3+5]=0\\\\\sf\iff~~-4+5x-[x+8]=0\\\\\sf\iff~~-4+5x-x-8=0\\\\\sf\iff~~~4x-12=0\\\\\sf\iff~~~4x=12\\\\\sf\iff~~~x=\dfrac{12}{4}\\\\\iff~~~\!\boxed{\sf x=3}\end{array}[/tex]
Portanto, x = 3 para que os pontos A, B e C estejam alinhados.
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[tex]\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}[/tex]
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