Resposta:
O comprimento inicial da barra de ferro deve ser igual a 20 cm e o comprimento inicial da barra de alumínio deve ser igual a 10 cm.
Explicação:
Trata-se de um problema que envolve a dilatação linear e a seguinte equação deve ser útil:
[tex]\boxed{\sf \displaystyle \Delta L = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T} \ \sf (I)[/tex]
Deve-se observar que, o problema pede para encontrar os tamanhos iniciais de duas barras, uma de alumínio e outra de ferro, para que a diferença de comprimento entre as duas não varie ao se alterar a temperatura. Para tal podemos afirmar que a dilatação das duas barras deve ser a mesma (para uma mesma variação de temperatura):
[tex]\sf \displaystyle \Delta L_{Al} = \Delta L_{Fe}[/tex]
usando a equação (I) para o alumínio e o ferro
[tex]\sf \displaystyle \alpha_{Al} \cdot L_{0Al} \cdot \Delta T = \alpha_{Fe} \cdot L_{0Fe} \cdot \Delta T[/tex]
Observe que o ΔT é o mesmo nos dois lados da igualdade e pode ser simplificado. Substituindo os coeficientes de dilatação linear dos dois materiais (dados no enunciado),
[tex]\sf \displaystyle 24\times10^{-6} \cdot L_{0Al} = 12 \times 10^{-6} \cdot L_{0Fe}[/tex]
[tex]\boxed{\sf \displaystyle L_{0Fe} = 2 \cdot L_{0Al}} \ \sf (II)[/tex]
Ou seja, o comprimento inicial da barra de ferro deve ser o dobro do comprimento inicial da barra de alumínio.
Como deseja-se que a diferença entre os comprimentos seja de 10 cm, tem-se:
[tex]\sf \displaystyle L_{0Fe} - L_{0Al} = 10 \: cm[/tex]
Usando aqui o valor da equação (II),
[tex]\sf \displaystyle 2 L_{0Al} - L_{0Al} = 10 \: cm[/tex]
[tex]\boxed{\sf \displaystyle L_{0Al} = 10 \: cm}[/tex]
e, usando esse valor na equação (II),
[tex]\boxed{\sf \displaystyle L_{0Fe} = 20 \: cm}[/tex]
